Cho a,b,c>0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 4 2017
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\forall x;y;z\ge0\) ta được :
\(B=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{9}{3+\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=1\)
Vậy GTNN của B là \(\frac{3}{2}\) tại \(a=b=c=1\)
LV
4 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz dạng engel:
\(P=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)
lại có theo AM-GM :\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2\)(*)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\left(c^2+1\right)\ge2a+2b+2c\)(1)
và \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)(2)
cộng theo vế (1) và (2): \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)=12\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)(**)
từ (*) và (**) ta có \(P\ge3\)
đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
XO
29 tháng 5 2021
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
=> \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
=> a2 + b2 \(\ge\)2ab
=> a2 + b2 - 2ab\(\ge\)0
=> (a - b)2 \(\ge\)0 (đúng)
Dấu "=" xảy ra <=> a - b = 0 => a = b
=> Bất đẳng thức được chứng minh
XO
29 tháng 5 2021
P = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
=> \(\left(a+b+c\right).P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
=> \(3P=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
=> \(3P=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\ge3+2+2+2=9\left(cmt\right)\)
=> P \(\ge3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
mà a + b + c = 3
=> a = b = c = 1
Vậy Min P = 3 <=> a = b= c = 1
16 tháng 5 2016
ta có: \(a+1>=2\sqrt{a};b+1>=2\sqrt{b};c+1>=2\sqrt{c}\)
=> \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)>=8\sqrt{abc}=8\)
Vậy min P=8.Dấu = khi a=b=c=1.
16 tháng 5 2016
Áp dụng BĐT Cô-si, ta lần lượt có:
\(a+1\ge\sqrt{a};b+1\ge\sqrt{b};c+1\ge\sqrt{c}\)
Vậy \(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}\times2\sqrt{b}\times2\sqrt{c}=8\sqrt{a\times b\times c}=8\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
NN
28 tháng 4 2017
Giải:
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(a+1\ge2\sqrt{a.1}=2\sqrt{a}\)
\(b+1\ge2\sqrt{b.1}=2\sqrt{b}\)
\(c+1\ge2\sqrt{c.1}=2\sqrt{c}\)
Nhân vế theo vế ta được:
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge\left(2.2.2\right)\left(\sqrt{a}.\sqrt{b}.\sqrt{c}\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8.\sqrt{abc}=8.\sqrt{1}=8\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(P_{min}=8\) tại \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Bất đẳng thức Nesbitt – Wikipedia tiếng Việt