Rút gọn:
\(\frac{1}{4+1^4}+\frac{3}{4+3^4}+...+\frac{2n-1}{4+\left(2n-1\right)^4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 6 2016
\(A=\left(\frac{1^2-2^2}{1^2}\right)\left(\frac{3^2-2^2}{3^2}\right)\left(\frac{5^2-2^2}{5^2}\right)...\left(\frac{\left(2n-1\right)^2-2^2}{\left(2n-1\right)^2}\right)\)
\(=\frac{-1\cdot3}{1^2}\cdot\frac{1\cdot5}{3^2}\cdot\frac{3\cdot7}{5^2}...\cdot\frac{\left(2n-3\right)\left(2n+1\right)}{\left(2n-1\right)^2}=-\frac{1}{1}\cdot\frac{2n+1}{2n-1}=-\frac{2n+1}{2n-1}\)
KT
4 tháng 1 2018
\(B=\frac{1^2}{2^2-1}.\frac{3^2}{4^2-1}.\frac{5^2}{6^2-1}...\frac{\left(2n+1\right)^2}{\left(2n+2\right)^2-1}\)
\(=\frac{1^2}{\left(2-1\right)\left(2+1\right)}.\frac{3^2}{\left(4-1\right)\left(4+1\right)}...\frac{\left(2n+1\right)^2}{\left(2n+2-1\right)\left(2n+2+1\right)}\)
\(=\frac{1}{1.3}.\frac{3^2}{3.5}...\frac{\left(2n+1\right)^2}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}\)
\(=\frac{1}{2n+3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 7 2020
a/ Bạn coi lại đề, \(2\sqrt[3]{2xy}\) hay \(2\sqrt[3]{2}.xy\)
Như đề bạn ghi thì ko rút gọn được
b/ Xét \(\frac{x}{x^4+4}=\frac{x}{x^4+4x^2+4-\left(2x\right)^2}=\frac{x}{\left(x^2+2\right)^2-\left(2x\right)^2}\)
\(=\frac{x}{\left(x^2+2-2x\right)\left(x^2+2+2x\right)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x^2+2-2x}-\frac{1}{x^2+2+2x}\right)\)
Thay \(x=2n-1\) ta được:
\(\frac{2n-1}{4+\left(2n-1\right)^4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(2n-1\right)^2-2\left(2n-1\right)+2}-\frac{1}{\left(2n-1\right)^2+2\left(2n-1\right)+2}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4\left(n-1\right)^2+1}-\frac{1}{4n^2+1}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4\left(1-1\right)^2+1}-\frac{1}{4.1^2+1}+\frac{1}{4.1^2+1}-\frac{1}{4.2^2+1}+...+\frac{1}{4\left(n-1\right)^2+1}-\frac{1}{4n^2+1}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4n^2+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{4n^2}{4n^2+1}\right)=\frac{n^2}{4n^2+1}\)
14 tháng 12 2015
Có: \(\frac{4n^2}{4n^2+1}-\frac{4\left(n-1\right)^2}{4\left(n-1\right)^2+1}=\frac{-1}{4n^2+1}+\frac{1}{\left(2n-2\right)^2+1}\)
\(=\frac{-\left(2n-2\right)^2-1+4n^2+1}{\left(4n^2+1\right)\left[\left(2n-2\right)^2+1\right]}=\frac{4\left(2n-1\right)}{\left(4n^2-4n+1+4n\right)\left(4n^2-4n+1-6n+4\right)}\)
\(=\frac{4\left(2n-1\right)}{\left(4n^2-4n+1\right)^2+4\left(4n^2-4n+1\right)-16n^2+16n}=\frac{4\left(2n-1\right)}{\left(2n-1\right)^4+4}\)
\(\Rightarrow\frac{n^2}{4n^2+1}-\frac{\left(n-1\right)^2}{4\left(n-1\right)^2+1}=\frac{2n-1}{4+\left(2n-1\right)^4}\)
-> đpcm theo phương pháp quy nạp
mẫu các phân số này có dạng a4 + 4 = a4 + 4a2 + 4 - 4a2 = (a2 - 2a + 2)(a2 + 2a + 2)
do đó các phân số sẽ biến đổi như sau:
\(\frac{a}{4+a^4}=\frac{a}{\left(a^2-2a+2\right)\left(a^2+2a+2\right)}=\frac{1}{4}\frac{4a}{\left(a^2-2a+2\right)\left(a^2+2a+2\right)}\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a^2-2a+2}-\frac{1}{a^2+2a+2}\right)\)
do đó biểu thức M = \(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{\left(2n-1\right)^2+2\left(2n-1\right)+2}\right)=\frac{n^2}{4n^2+1}\)