Tìm tất cả đa thức \(P\left(x\right)\) với hệ số nguyên, sao cho: Với mỗi số nguyên tố \(p\) và \(a,b\) nguyên thỏa mãn \(ab\equiv1\left(modp\right)\) thì \(P\left(a\right).P\left(b\right)\equiv1\left(modp\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2021
Do \(P\left(a\right)=P\left(b\right)=P\left(c\right)=P\left(d\right)=7\) nên \(P\left(x\right)-7=0\) có 4 nghiệm nguyên phân biệt
\(\Rightarrow P\left(x\right)-7=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)Q\left(x\right)\) với Q(x) là đa thức có giá trị nguyên khi x nguyên
Xét phương trình: \(P\left(x\right)-14=0\)
\(\Leftrightarrow P\left(x\right)-7=7\)
\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)Q\left(x\right)=7\) (1)
Do a;b;c;d phân biệt \(\Rightarrow\) vế trái là tích của ít nhất 4 số nguyên phân biệt khi x nguyên
Mà 7 là số nguyên tố nên chỉ có thể phân tích thành tích của 2 số nguyên phân biệt
\(\Rightarrow\) Không tồn tại x nguyên thỏa mãn (1) hay \(P\left(x\right)-14=0\) ko có nghiệm nguyên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 3 2021
Lời giải:
Đặt $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+..+a_nx^n$ với $a_i$ nguyên với $i=\overline{0,n}$
Ta có:
\(f(a)=a_0+a_1a+a_2a^2+...+a_na^n; f(b)=a_0+a_1b+a_2b^2+...+a_nb^n\)
\(\Rightarrow f(a)-f(b)=a_1(a-b)+a_2(a^2-b^2)+...+a_n(a^n-b^n)\)
Dễ thấy: $a^j-b^j\vdots a-b$ với mọi $j\geq 1$ nên $f(a)-f(b)\vdots a-b$
Ta có đpcm.
28 tháng 2 2021
Giả sử \(f\left(x\right)=m_nx^n+m_{n-1}x^{n-1}+...+m_1x+m_0\) với \(m_0;m_1;...;m_n\in Z\).
Ta có \(f\left(a\right)-f\left(b\right)=m_n\left(a^n-b^n\right)+m_{n-1}\left(a^{n-1}-b^{n-1}\right)+...+m_1\left(a-b\right)\).
Dễ thấy tổng trên chia hết cho a - b với mọi a, b nguyên.
Vậy ta có đpcm.
E
28 tháng 2 2021
Giả sử f(x) = c0 + c1x + ... + cnxn với c0, c1, ..., cn là các số nguyên
f(a) - f(b) = (cn.an + ... + c1.a + c0) - (cn.bn + ... + c1.b + c0)
= cn(an - bn) + ... + c1(a - b) + (c0 - c0)
= cn(a - b)(an-1 + an-2b + ... + bn-1) + ... + c1(a - b)
= (a - b)(...) ⋮ (a - b)
Vậy bài toán đã được chứng minh
26 tháng 11 2021
1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện $$20abc<30(ab+bc+ca)<21abc$$ - Số học - Diễn đàn Toán học
2. [LỜI GIẢI] Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số < - Tự Học 365