\(2x^2+\left(2m-1\right)x+m-1=0\)
chứng minh phương trình không có 2 nghiệm dương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2021
1.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+1\right)x^3-2m^2x^2-4x+m^2+1\)
\(f\left(x\right)\) xác định và liên tục trên R
\(f\left(x\right)\) có bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm (1)
\(f\left(0\right)=m^2+1>0\) ; \(\forall m\)
\(f\left(1\right)=\left(m^2+1\right)-2m^2-4+m^2+1=-2< 0\) ;\(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;1\right)\) (2)
\(f\left(2\right)=8\left(m^2+1\right)-8m^2-8+m^2+1=m^2+1>0\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(1;2\right)\) (3)
\(f\left(-3\right)==-27\left(m^2+1\right)-18m^2+12+m^2+1=-44m^2-14< 0\)
\(\Rightarrow f\left(-3\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-3;0\right)\) (4)
Từ (1); (2); (3); (4) \(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có đúng 3 nghiệm phân biệt
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2021
2.
Đặt \(t=g\left(x\right)=x.cosx\)
\(g\left(x\right)\) liên tục trên R và có miền giá trị bằng R \(\Rightarrow t\in\left(-\infty;+\infty\right)\)
\(f\left(t\right)=t^3+m\left(t-1\right)\left(t+2\right)\)
Hàm \(f\left(t\right)\) xác định và liên tục trên R
\(f\left(1\right)=1>0\)
\(f\left(-2\right)=-8< 0\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-2\right)< 0\Rightarrow f\left(t\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-2;1\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm với mọi m
10 tháng 3 2023
a*c=-(m^2+m+1)
=-(m^2+m+1/4+3/4)
=-(m+1/2)^2-3/4<0
=>Phương trình luôn có 2 nghiệm pb
21 tháng 2 2023
a=-1; b=-2m^2-2m-2; c=m^2+m+1
A=a*c=-(m^2+m+1)
=-(m^2+m+1/4+3/4)
=-(m+1/2)^2-3/4<0
=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
DT
Dang Tung
CTVHS
16 tháng 11 2023
pt : \(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m-1=0\)
\(\Delta=\left[-\left(2m+1\right)\right]^2-4.1.\left(m^2+m-1\right)\\ =4m^2+4m+1-4m^2-4m+4=5>0\)
=> pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Theo hệ thức Vi ét :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m+1}{2}\\x_1.x_2=m^2+m-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x_1+x_2\right)=2m+1\\x_1.x_2=m^2+m-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4\left(x_1+x_2\right)^2=4m^2+4m+1\\4x_1x_2=4m^2+4m-4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=5\) ( Không phụ thuộc vào m - DPCM )
4 tháng 3 2022
a, Thay m = 1 ta đc
\(x^2-1=0\Leftrightarrow x=1;x=-1\)
b, \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\)
Để pt có 2 nghiệm pb khi delta' > 0
\(m-2\ne0\Leftrightarrow m\ne2\)
c, để pt có 2 nghiệm trái dấu khi \(x_1x_2=2m-3< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{3}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 3 2022
d.
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)
Trừ vế cho vế:
\(\Rightarrow x_1+x_2-x_1x_2=1\)
Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m
26 tháng 2 2022
a: \(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\left(2m-3\right)\)
\(=4m^2-8m+4-8m+12\)
\(=4m^2-16m+16\)
\(=\left(2m-4\right)^2>=0\)
Do đó: Phương trình luôn có nghiệm
b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì 2m-3<0
hay m<3/2
c: Để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia thì ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-2x_2=0\\x_1+x_2=2m-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3x_2=-2m+2\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{2m-2}{3}\\x_1=\dfrac{4m-4}{3}\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x_1x_2=2m-3\)
\(\Leftrightarrow2m-3=\dfrac{2m-2}{3}\cdot\dfrac{4m-4}{3}\)
\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^2=9\left(2m-3\right)\)
\(\Leftrightarrow8m^2-16m+8-18m+27=0\)
\(\Leftrightarrow8m^2-34m+35=0\)
\(\text{Δ}=\left(-34\right)^2-4\cdot8\cdot35=36>0\)
Do đó: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(\left\{{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{34-6}{16}=\dfrac{28}{16}=\dfrac{7}{4}\\m_2=\dfrac{34+6}{16}=\dfrac{40}{16}=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 4 2021
\(VT=\left|x-1\right|+\left|2-x\right|\ge\left|x-1+2-x\right|=1\)
\(VP=-4x^2+12x-9-1=-\left(2x-3\right)^2-1\le-1\)
\(\Rightarrow VT>VP\) ; \(\forall x\)
\(\Rightarrow\) Pt đã cho luôn luôn vô nghiệm
b.
\(\Leftrightarrow\left(m^2+3m\right)x=-m^2+4m+21\)
\(\Leftrightarrow m\left(m+3\right)x=\left(7-m\right)\left(m+3\right)\)
Để pt có nghiệm duy nhất \(\Rightarrow m\left(m+3\right)\ne0\Rightarrow m\ne\left\{0;-3\right\}\)
Khi đó ta có: \(x=\dfrac{\left(7-m\right)\left(m+3\right)}{m\left(m+3\right)}=\dfrac{7-m}{m}\)
Để nghiệm pt dương
\(\Leftrightarrow\dfrac{7-m}{m}>0\Leftrightarrow0< m< 7\)
Bổ sung cho mik vào chỗ Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{1-2m}{2}\\x_1x_2=\frac{m-1}{2}\end{cases}}\)
Phương trình: \(2x^2+\left(2m-1\right)x+m-1=0\left(1\right)\)
* Thay m = 2 vào phương trình (1) ta có.
\(2x^2+3x+1=0\)
Có (a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0)
\(\Rightarrow\) Phương trình (1) có nghiệm \(x_1=-1;x_2=-\frac{1}{2}\)
* Phương trình (1) có \(\left(2m-1\right)^2-8\left(m-1\right)\)
= \(4m^2-12m+9\)
= \(\left(2m-3\right)^2\) 0 với mọi m.
\(\Rightarrow\)Phương trình (1) luôn có hai nghiệm \(x_1,x_2\) với mọi giá trị của m.
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(4x_1^2+4x_2^2+2x_1x_2=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(4\left(x_1+x_2\right)^2-6x_1x_2=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(1-2m\right)^2-3m+3=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(4m^2-7m+3=0\)
+ Có a + b + c = 0
\(\Rightarrow m_1\) = 1; \(m_2=\frac{3}{4}\)
Vậy với m = 1 hoặc m = \(\frac{3}{4}\) thì phương trình (1) có hai nghiệm \(x_1;x_2\) thoả mãn:
\(4x_1^2+4x_2^2+2x_1x_2=1\)