Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HL
0
GF
0
ND
1
22 tháng 11 2019
Câu hỏi của Hoàng Thái Dương - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
NT
2
HP
18 tháng 3 2017
B=(x+y)/xyz=1/yz + 1/xz
có (x-y)2 = x2-2xy+y2 >/ 0 => x2-2xy+y2+4xy >/ 4xy =>(x+y)2 >/ 4xy => 1/x + 1/y >/ 4/x+y , đẳng thức xảy ra <=> x=y
=> B=1/yz + 1/xz >/ 4/yz+xz = 4/z(x+y) = 4/z(1-z)
áp dụng bđt am-gm z(1-z) </ (z+1-z)2/4 </ 1/4
=> B >/ 4/1/4 >/ 16 ,minB=16 ,đẳng thức xảy ra <=> x=y=1/4;z=1/2
NQ
4
24 tháng 7 2017
Cái đề thế này ah
\(\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Vì \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\\z\ge0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge0\)
PB
0
KN
22 tháng 5 2020
Ta có: \(x^2\left(y+z\right)\ge x^2.2\sqrt{yz}=2\sqrt{x^4}.\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương y,z và sử dụng giả thiết xyz = 1)
Hoàn toàn tương tự: \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
Do đó \(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
\(\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(a=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\), \(b=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\), \(c=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\)
Suy ra: \(x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9}\), \(y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9}\), \(z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
Do đó \(P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\)
\(\ge\frac{2}{9}\left[4.3\sqrt[3]{\frac{c}{b}.\frac{a}{c}.\frac{b}{a}}+3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}-6\right]\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số dương)
\(=\frac{2}{9}\left[4.3+3-6\right]=2\)
Vậy \(P\ge2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
3 tháng 11 2018
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\) Do \(xyz=1\Rightarrow abc=1\)
Ta có \(M=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{a^3+c^3+1}\)
Cần chứng minh \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) \(BĐT\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\frac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{a+b+c}\)
Tương tự cộng lại ra ĐPCM