Cho: a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất P= a3+b3+c3+a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NP
0
PV
0
NA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 8 2021
Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)
Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)
23 tháng 10 2016
bài 5 nhé:
a) (a+1)2>=4a
<=>a2+2a+1>=4a
<=>a2-2a+1.>=0
<=>(a-1)2>=0 (luôn đúng)
vậy......
b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:
a+1>=\(2\sqrt{a}\)
tương tự ta có:
b+1>=\(2\sqrt{b}\)
c+1>=\(2\sqrt{c}\)
nhân vế với vế ta có:
(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)
<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)
<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)
vậy....
K
1
27 tháng 11 2023
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2\)
=>\(2\left(ab+bc+ac\right)=0\)
=>ab+bc+ac=0
\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\)
=>\(\dfrac{\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^3}=\dfrac{3}{abc}\)
=>\(\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3=3\left(abc\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(ab+bc\right)+\left(ac\right)^3=3\left(abc\right)^2\)
=>\(\left(-ac\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(-ac\right)+\left(ac\right)^3-3\left(abc\right)^2=0\)
=>\(-a^3c^3+a^3c^3+3a^2b^2c^2-3a^2b^2c^2=0\)
=>0=0(đúng)
\(P=a^3+b^3+c^3+a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\)
\(=a^3+a^2\left(b+c\right)+b^3+b^2\left(c+a\right)+c^3+c^2\left(b+a\right)\)
\(=a^2\left(a+b+c\right)+b^2\left(b+c+a\right)+c^2\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=1\left(a^2+b^2+c^2\right)=a^2+b^2+c^2\)
Tớ có cách khác:
Từ giả thiết suy ra:
\(P=a^3+b^3+c^3+a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)\(=a^2+b^2+c^2\)
Lại có: \(a^2+\frac{1}{9}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{9}}=\frac{2a}{3}\)
Suy ra \(a^2\ge\frac{2a}{3}-\frac{1}{9}\)
Thiết lập 2 BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(P=a^2+b^2+c^2\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}-\frac{1}{9}=\frac{2}{3}-\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=b^2=c^2=\frac{1}{9}\Leftrightarrow a=b=c=\pm\frac{1}{3}\)
Vậy...