Question

[tnt]

Tìm 3 số tự nhiên sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng

Answer 1

[Nguyễn Đắc Linh]

Giả sử 3 số tự nhiên đó lần lượt là a, b, c. Theo yêu cầu đề bài, ta có phương trình:

a + b + c = abc

Chia cả 2 vế của phương trình trên cho abc, ta có:

1/a + 1/b + 1/c = 1

Đây là phương trình Diophantus của bài toán. Chúng ta sẽ giải phương trình này bằng phương pháp thủ công như sau:

Ta có thể giả sử a ≤ b ≤ c (do tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân)

Trường hợp a = 1. Ta có 1/b + 1/c = 1, kết hợp với a ≤ b ≤ c, ta có b ≥ 2, c ≥ 3. Thử từng trường hợp b = 2, 3, ... ta sẽ tìm ra được 1 nghiệm là (1, 2, 3)

Trường hợp a = 2. Ta có 1/b + 1/c = 1/2. Kết hợp với a ≤ b ≤ c, ta có b ≥ 3, c ≥ 5. Thử từng trường hợp b = 3, 4, ... và kiểm tra nghiệm c tương ứng, ta không tìm được nghiệm nào.

Trường hợp a = 3. Ta có 1/b + 1/c = 2/9. Tương tự, ta có b ≥ 4, c ≥ 13. Thử từng trường hợp b = 4, 5, ... và kiểm tra nghiệm c tương ứng, ta không tìm được nghiệm nào.

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu là (1, 2, 3).