Question

[Viêt Thanh Nguyễn Hoàng]

Biết rằng tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình : \({x^2} - 2x - \sqrt {x + m} = m\) có nghiệm duy nhất là \(\left\{ {\left. { - \frac{a}{b}} \right\} \cup ( - c;d)} \right.\), với a,b,c,d là các số tự nhiên và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị biểu thức \(\begin{array}{l} S = a + 2b + 3c + 4d\\ \end{array}\) là ?

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Đặt \(\sqrt{x+m}=t\Rightarrow m=t^2-x\)

Pt trở thành:

\(x^2-2x-t=t^2-x\)

\(\Leftrightarrow x^2-t^2-x-t=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+t\right)\left(x-t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-x=t\\x-1=t\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-x=\sqrt{x+m}\left(x\le0\right)\\x-1=\sqrt{x+m}\left(x\ge1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-x=m\left(x\le0\right)\left(1\right)\\x^2-3x+1=m\left(x\ge1\right)\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

TH1: (1) có nghiệm duy nhất và (2) vô nghiệm (sử dụng đồ thị hoặc BBT)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\\left[{}\begin{matrix}m< -\dfrac{5}{4}\\\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) (ko tồn tại m thỏa mãn)

TH2: (1) vô nghiệm và (2) có nghiệm duy nhất 

 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{5}{4}\\m>-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{-\dfrac{5}{4}\right\}\cup\left(-1;0\right)\)