cho\(a,b>0\)tìm giá trị nhỏ nhất của \(S=\frac{a+b}{\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{a+b}}{a+b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 10 2018
Với a, b dương:
\(8^2=\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\ge\frac{4}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{ab}}\le\frac{64}{4}=16\)
max A=16 khi a=b=1/4
30 tháng 5 2018
Từ giả thiết ta dễ thấy dấu "=" xảy ra khi a=1, b=3, c=5
Áp dụng BĐT Cauchy Schawrz, ta có:
\(a^2+\frac{b^2}{3}+\frac{c^2}{5}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+3+5}\Rightarrow2\sqrt{a^2+\frac{b^2}{3}+\frac{c^2}{5}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{9}{b}+\frac{25}{c}\ge\frac{\left(1+3+5\right)^2}{a+b+c}\Rightarrow3\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{9}{b}+\frac{25}{c}}\ge\frac{27}{\sqrt{a+b+c}}\)
Từ đó, suy ra
\(A\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}+\frac{27}{\sqrt{a+b+c}}=\frac{a+b+c}{6}+\frac{a+b+c}{2}+\frac{27}{2\sqrt{a+b+c}}+\frac{27}{2\sqrt{a+b+c}}\ge\frac{9}{6}+3\sqrt[3]{\frac{729}{8}}=15\)
Dấu "=" xảy ra khi a=1, b=3, c=5
Mong là không có gì sai sót!
Vì \(a;b>0\) nên \(\frac{a+b}{\sqrt{a+b}}>0;\frac{\sqrt{a+b}}{a+b}>0\)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(S=\frac{a+b}{\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{a+b}}{a+b}\ge2\sqrt{\frac{a+b}{\sqrt{a+b}}.\frac{\sqrt{a+b}}{a+b}}=2.\sqrt{1}=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{a+b}{\sqrt{a+b}}=\frac{\sqrt{a+b}}{a+b}\Leftrightarrow a+b=1\)
Vậy GTNN của S là 2 tại a + b = 1