S=1/5^2+1/9^2+.........+1/409^2 chứng minh rằng:S<1/12.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PH
6
18 tháng 2 2016
Nhân S với 4 ta được :
4S = 4/(5x5) + 4/(9x9) + … + 1/(409x409)
Ta thấy:
4/(5x5) < 4/(3x7) = 1/3 – 1/7
4/(9x9) < 4/(7x11) = 1/7 – 1/11
…………
4/(409x409) < 4/(407x411) = 1/407 – 1/411
Mà :
4/(3x7) + 4/(7x11) + …. + 4/(407x411) = 1/3 – 1/411 = 136/411
4S < 136/411
S < 34/411 < 34/408 = 1/12
Hay S < 1/12
BH
18 tháng 2 2016
cho S=1/5^2+1/9^2+.........+1/409^2 chứng minh rằng:S<1/12
Câu hỏi tương tự Đọc thêmToán lớp 6
NH
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 2 2019
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{1}{5^2}=\frac{1}{5.5}< \frac{1}{3.7}\)
\(\frac{1}{9^2}=\frac{1}{9.9}< \frac{1}{7.11}\)
.......
\(\frac{1}{409^2}=\frac{1}{409.409}=\frac{1}{(407+2)(411-2)}=\frac{1}{407.411-2.407+2.411}< \frac{1}{407.411}\)
Cộng theo vế ta có:
\(S<\frac{1}{3.7}+\frac{1}{7.11}+....+\frac{1}{407.411}(*)\)
Mà:
\(\frac{1}{3.7}+\frac{1}{7.11}+....+\frac{1}{407.411}=\frac{1}{4}\left(\frac{4}{3.7}+\frac{4}{7.11}+...+\frac{4}{407.411}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{7-3}{3.7}+\frac{11-7}{7.11}+....+\frac{411-407}{407.411}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+....+\frac{1}{407}-\frac{1}{411}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{411}\right)< \frac{1}{4}.\frac{1}{3}=\frac{1}{12}(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow S< \frac{1}{12}\)
Ta có đpcm.
TH
1
2 tháng 3 2020
S = \(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{9^2}+....+\frac{1}{405^2}+\frac{1}{409^2}\)
<=> S = \(\frac{1}{5\cdot5}+\frac{1}{9\cdot9}+....+\frac{1}{405\cdot405}+\frac{1}{409\cdot409}\)
=> S < \(\frac{1}{5\cdot9}+\frac{1}{9\cdot13}+....+\frac{1}{405\cdot409}+\frac{1}{409\cdot413}\)
(Ta thấy các cơ số lũy thừa cách nhau 4 đơn vị nên ở mẫu biến đổi sao cho hai số cũng cách nhau 4 đơn vị thì sẽ đơn giản hơn)
=> 4S < \(\frac{4}{5\cdot9}+\frac{4}{9\cdot13}+....+\frac{4}{405\cdot409}+\frac{4}{409\cdot413}\)
=> 4S < \(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+....+\frac{1}{405}-\frac{1}{409}+\frac{1}{409}-\frac{1}{413}\)
(Vì hai số ở mẫu cách nhau 4 đơn vị nên ta nhân hai vế cho 4 thì lúc đó ta sẽ tách được hiệu hai phân số) ; (Cuối cùng đơn giản hết đi)
=> 4S < \(\frac{1}{5}-\frac{1}{413}\)
=> 4S < \(\frac{408}{2065}\approx0,2\)
=> S < \(0,05\)
Mà 0,05 < \(\frac{1}{12}\left(\frac{1}{12}\approx0,08\right)\)
Vậy S < \(\frac{1}{12}\)
HT
0
VL
0
LT
0
3 tháng 7 2016
Đầu tiên ta chứng minh \(\frac{1}{n.n}< \frac{1}{\left(n-1\right).\left(n+1\right)}\)(n thuộc N*)
Ta có: \(\frac{1}{\left(n-1\right).\left(n+1\right)}=\frac{1}{\left(n-1\right).n+\left(n-1\right)}=\frac{1}{n.n-n+n-1}=\frac{1}{n.n-1}>\frac{1}{n.n}\)
\(S=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{2009^3}< \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{2008.2009.2010}\)
\(S< \frac{1}{2}.\left(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+...+\frac{2}{2008.2009.2010}\right)\)
\(S< \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2008.2009}-\frac{1}{2009.2010}\right)\)
\(S< \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2009.2010}\right)\)
\(S< \frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)
=> S < 1/4 (đpcm)
Ủng hộ mk nha ^_-
19 tháng 11 2023
cho mình hỏi tại sao:
1/2 . (1/1.2−1/2009.2010) = 1/2 . 1/2