Cho a,b > o . CMR:
\(\left(a+b\right)^4\ge16ab\left(a-b\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
GD
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 3 2017
Lời giải:
Bài toán chỉ đúng cho \(a,b>0\). Nếu tồn tại $2$ số âm thấy ngay nó không đúng.
Với điều kiện dương, BĐT cần CM tương đương với:
\((a^2+b^2+2ab)^5\geq 256(ab)^2(1+a^2+b^2+a^2b^2)\)
Đặt \(t=ab\Rightarrow 2t=2ab\leq a^2+b^2=2\Rightarrow 0< t\leq 1\)
Cần CM \((2t+2)^5\geq 256t^2(3+t^2)\Leftrightarrow (t+1)^5\geq 8t^2(t^2+3)\) \((\star)\)
Theo BĐT Cauchy thì \((t+1)^2\geq 4t\Rightarrow (t+1)^5\geq 4t(t+1)^3\)
Theo tính chất bắc cầu ta chỉ cần chỉ ra
\(4t(t+1)^3\geq 8t^2(t^2+3)\Leftrightarrow (t+1)^3\geq 2t(t^2+3)\)
\(\Leftrightarrow (t-1)^3\leq 0\) (luôn đúng do \(t\leq 1\) )
BĐT \((\star)\) được chứng minh. Bài toán hoàn tất
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=1\)
LB
3 tháng 12 2017
a)ta có \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow1\ge ab\)
theo bđt cauchy schwarz ta có
\(\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{a.b}{a.b}}.2\sqrt{\dfrac{a.b}{a^2.b^2}}=2.1.2\dfrac{1}{1^2}=4\)
\(\Rightarrow dpcm\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 12 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{a+2}{27}+\frac{b+2}{27}+\frac{1}{9}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^4}{27.27.9}}=\frac{4a}{9}\)
\(\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{b+2}{27}+\frac{c+2}{27}+\frac{1}{9}\geq \frac{4b}{9}\)
\(\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}+\frac{c+2}{27}+\frac{a+2}{27}+\frac{1}{9}\geq \frac{4c}{9}\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}+\frac{2(a+b+c)}{27}+\frac{7}{9}\geq\frac{4(a+b+c)}{9}\)
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}\geq \frac{10(a+b+c)}{27}-\frac{7}{9}=\frac{30}{27}-\frac{7}{9}=\frac{1}{3}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
13 tháng 8 2017
4) Ta có : A=(a+b+c+d)(a-b-c+d)=(a-b+c-d)(a+b-c-d)
=> (a+d)2 - (b+c)2= (a-d)2 - (c-b)2
=> a2+ d2+ 2ad - b2- c2- 2bc=a2 + d2 - 2ad - c2-b2+2bc
Rút gọn ta được: 4ad = 4bc => ad = bc =>\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
13 tháng 8 2017
1) a2+b2+c2+3=2(a+b+c) =>(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0
=> a-1=b-1=c-1=0 => a=b=c=1 =>đpcm
ta có: (a+b)4\(\ge\)16ab(a-b)2
\(\Leftrightarrow\)a4 + 4ab3 + 4a3b + b4\(\ge\)16ab(a2 - 2ab + b2)
\(\Leftrightarrow\)a4 + 4ab3 + 4a3b + b4\(\ge\)16a3b - 32a2b2 + 16ab3
\(\Leftrightarrow\)a4 - 12a3b + 38a2b2 - 12ab3 + b4 \(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)(a2 - 6ab + b2)2 \(\ge\)0 (luôn đúng)Vậy\(\left(a+b\right)^4\ge16ab\left(a-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+4ab^3+6a^2b^2+4a^3b+b^4\ge16ab\left(a^2-2ab+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+4ab^3+6a^2b^2+4a^3b+b^4\ge16a^3b-32a^2b^2+16ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^4-12a^3b+38a^2b^2-12ab^3+b^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2\right)^2-\left(b^2\right)^2+\left(6ab\right)^2+2a^2b^2-2.6aba^2-2.6abb^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-6ab+b^2\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Vậy ....