Cho a,b,c>0 , ab+bc+ca=0
Cm 9a^4×b^2+ 9b^4×c^2+ 9c^4×a^2 》1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 10 2016
ta có a^3 +b^3+c^3=3abc(quy đồng)
=> (a+b+c)1/2{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}=0
=> a=b=c
còn lại bạn tự làm
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2018
Bài tương tự bài dưới đây:
Câu hỏi của Nguyễn Đặng Việt Tuấn - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Ta chứng minh được:
\(\frac{a}{9a^3+3b^2+c}+\frac{b}{9b^3+3c^2+a}+\frac{c}{9c^3+3a^2+b}\leq \frac{2}{3}+ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow P\leq \frac{2}{3}+2019(ab+bc+ac)\)
Mà \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow P\leq \frac{2021}{3}\) hay \(P_{\max}=\frac{2021}{3}\)
10 tháng 5 2020
Ta có : \(\frac{a}{1+9b^2}=\frac{a+9ab^2-9ab^2}{1+9b^2}=a-\frac{9ab^2}{1+9b^2}\ge a-\frac{9ab^2}{6b}=a-\frac{3ab}{2}\)
Tương tự : \(\frac{b}{1+9c^2}\ge b-\frac{3bc}{2}\); \(\frac{c}{1+9a^2}\ge c-\frac{3ac}{2}\)
\(\Rightarrow Q\ge a+b+c-\frac{3ab+3bc+3ac}{2}\ge a+b+c-\frac{3.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
10 tháng 5 2020
Ta có: \(Q=\frac{a}{1+9b^2}+\frac{b}{1+9c^2}+\frac{c}{9a^2}=\frac{a+9ab^2-9ab^2}{1+9b^2}+\frac{b+9bc^2-9bc^2}{1+9b^2}+\frac{c+9ca^2-9ca^2}{1+9c^2}\)
\(=1-\frac{9ab^2}{1+9b^2}+b-\frac{9bc^2}{1+9c^2}+c-\frac{9ca^2}{1+9a^2}=1-\left(\frac{9ab^2}{1+9b^2}+\frac{9bc^2}{1+9c^2}+\frac{9ca^2}{1+9a^2}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{9ab^2}{1+9b^2}\le\frac{9ab^2}{2\sqrt{1\cdot9b^2}}=\frac{9ab^2}{2\cdot3b}=\frac{3ab}{2}\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{9bc^2}{1+9c^2}\le\frac{3ab}{2}\\\frac{9ca^2}{1+9a^2}\le\frac{3ab}{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{9ab^2}{1+9b^2}+\frac{9bc^2}{1+9c^2}+\frac{9ac^2}{1+9a^2}\le\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
Hay \(Q=1-\left(\frac{9ab^2}{1+9b^2}+\frac{9bc^2}{1+9c^2}+\frac{9ca^2}{1+9a^2}\right)\ge1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy \(Min_P=\frac{1}{2}\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
TN
13 tháng 12 2016
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(9a^3+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\ge3\sqrt[3]{9a^3\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}}=3a\)
\(3b^2+\frac{1}{3}\ge2\sqrt{3b^2\cdot\frac{1}{3}}=2b\)
Do đó: \(A\le\text{∑}\frac{a}{3a+2b+c-1}=\frac{a}{2a+b}\left(a+b+c=1\right)\)
\(2A\le\text{∑}\frac{2a}{2a+b}=3-\text{∑}\frac{b}{2a+b}=3-\text{∑}\frac{b^2}{2ab+b^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(2A\le3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=2\Leftrightarrow A\le1\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
TN
13 tháng 12 2016
Ngoài http://olm.vn/hoi-dap/question/779981.html còn cách khác
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(9a^3+3a^2+c\right)\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow A\le\text{∑}\frac{a\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\text{∑}\left(\frac{1}{9}+\frac{a}{3}+ac\right)\)
\(=\frac{1}{3}+\frac{a+b+c}{3}+\text{∑}ab\le\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=1\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
25 tháng 2 2018
Cauchy-SChwarz:
\(\left(9a^3+3b^2+c\right)\left(\dfrac{1}{9a}+\dfrac{1}{3}+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\left(9a^3+3b^2+c\right)}\le\dfrac{a\left(\dfrac{1}{9a}+\dfrac{1}{3}+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1}{9}+\dfrac{a}{3}+ac}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(P\le\dfrac{1}{9}\cdot3+\dfrac{a+b+c}{3}+ab+bc+ca\)
\(\le\dfrac{1}{9}\cdot3+\dfrac{a+b+c}{3}+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=1\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
28 tháng 5 2018
2,
ÁP dụng bđt phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)(Tự cm) ta có
\(B\ge\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{9}{ab+bc+ac}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{4}{2\left(ab+bc+ac\right)}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\)
Tiếp tục sử dụng bđt \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
\(\Rightarrow B\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}=9+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\)
SD bđt phụ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\le\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{7}{ab+bc+ac}\ge21\)
Do đo \(B\ge21+9=30\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
28 tháng 5 2018
Bài 1 SD cái bđt \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}+\dfrac{d^2}{t}\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{x+y+z+t}\)
Phương pháp : nhân các phân thức lần lượt vs tử của nó để xuất hiện bình phương biến đổi mẫu sao cho xuất hiện a +b+c+d .
Ngại trình bày vì dài quá