Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:
$\frac{a^2}{2}+8b^2\geq 2\sqrt{4a^2b^2}=2|2ab|\geq 4ab$
$\frac{a^2}{2}+8c^2\geq 2|2ac|\geq 4ac$
$2b^2+2c^2\geq 2\sqrt{4b^2c^2}=2|2bc|\geq 4bc$
Cộng theo vế các BĐT trên:
$\Rightarrow a^2+10b^2+10c^2\geq 4(ab+bc+ac)=4$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=4b=4c=\pm \frac{4}{3}\)
<=>2ab+2bc+2ca<=1=1^2=(a+b+c)^2
<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca>=2ab+2bc+2ca
<=>a^2+b^2+c^2>=0
a,b,c khong dong thoi =0
=> dang thuc khong xay ra
=> ab+bc+ca<1/2=>dpcm
(a+b+c)=1
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1
a^^2+b^2+c^2>=0
=>2ab+2bc+2ca<=1
Đẳng thức khi (a+b+c=1 &0=> vô nghiệm
=> 2ab+2bc+2ca<1
=>ab+2bc+2ca<1/2
=>đpcm
\(\frac{a-bc}{a+bc}=\frac{a-bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}=\frac{a-bc}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a-bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\left(a-bc\right)\sqrt{\frac{1}{\left(a+b\right)^2\left(c+a\right)^2}}\le\frac{\frac{a-bc}{\left(a+b\right)^2}+\frac{a-bc}{\left(c+a\right)^2}}{2}=\frac{a-bc}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{a-bc}{2\left(c+a\right)^2}\)
Tương tự, ta có: \(\frac{b-ca}{b+ca}\le\frac{b-ca}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{b-ca}{2\left(a+b\right)^2}\)\(;\)\(\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{c-ab}{2\left(c+a\right)^2}+\frac{c-ab}{2\left(b+c\right)^2}\)
=> \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{a-bc+b-ca}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{b-ca+c-ab}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{a-bc+c-ab}{2\left(c+a\right)^2}\)
\(\frac{\left(a+b\right)\left(1-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(1-c\right)}+\frac{\left(b+c\right)\left(1-a\right)}{2\left(b+c\right)\left(1-a\right)}+\frac{\left(c+a\right)\left(1-b\right)}{2\left(c+a\right)\left(1-b\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có:
\(a+b+c=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1\)
\(\Rightarrow2ab+2ac+2bc=1-a^2-b^2-c^2\)
\(\Rightarrow2\left(ab+ac+bc\right)=1-a^2-b^2-c^2\)
Vì \(1-a^2-b^2-c^2< 1\)
\(\Rightarrow2\left(ab+ac+bc\right)< 1\)
\(\Rightarrow ab+ac+bc< \dfrac{1}{2}\)
Từ giả thiết a+b+c=1 suy ra: c=1-a-b, thay vào bất đẳng thức ta được
(3a+4b+5-5a-5b)2\(\ge\)44ab+44(a+b)(1-a-b)
<=> 48a2+16(3b-4)a+45b2-54b+25\(\ge0\)
Xét \(f\left(a\right)=48a^2+16\left(3b-4\right)a+45b^2-54b+25\), khi đó ta được
\(\Delta'=64\left(3b-4\right)^2-48\left(45b^2-54b+25\right)=-176\left(3b^2-1\right)\le0\)
Do đó suy ra: f(a) \(\ge\)0 hay 48a2+16(3a-4)a+45b2-54b+25\(\ge\)0
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{3};c=\frac{1}{6}\)