Cho: a,b,c>0 và a+b+c=4
CMR: \(\sqrt{a+b}\) + \(\sqrt{b+c}\) +\(\sqrt{c+a}\) >0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 11 2017
a) Gõ link này nha: http://olm.vn/hoi-dap/question/1078496.html
N
20 tháng 8 2016
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)\(\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}\)=\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{b+\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(2)
\(\frac{c}{c+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(3)
Cộng theo vế của (1);(2)&(3) ta đc:
A\(\le1\)
Dấu''='' xảy ra\(\Leftrightarrow\)a=b=c
LT
2
27 tháng 6 2017
Ta có: \(\dfrac{b}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}=\dfrac{b}{\dfrac{\left(a+b\right)-\left(a-b\right)}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}}\)
\(=\dfrac{b}{\dfrac{a+b-a+b}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}}=\dfrac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{b}\)
Và \(\dfrac{c}{\sqrt{a+c}-\sqrt{a-c}}=\dfrac{c}{\dfrac{\left(a+c\right)-\left(a-c\right)}{\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}}}\)
\(=\dfrac{c}{\dfrac{a+c-a+c}{\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}}}=\dfrac{\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}}{c}\)
Từ \(a>b>c>0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}a+b>a+c\\a-b>a-c\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a+b}>\sqrt{a+c}\\\sqrt{a-b}>\sqrt{a-c}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}>\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{b}< \dfrac{\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}}{c}\left(b>c>0\right)\)
Hay ta có ĐPCM
27 tháng 6 2017
\(\dfrac{b}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}=\dfrac{b}{\dfrac{a+b-a-b}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}}=\dfrac{b}{\dfrac{0}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}}\rightarrow\varnothing\)
TN
30 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\right)^2\)
\(\le\left(a+c+a-c\right)\left(b+c+b-c\right)\)
\(=2a\cdot2b=4ab=VP^2\)
\(\Rightarrow VT\le VP\) *ĐPCM*
G
23 tháng 5 2019
\(A=\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{a+b+2c}}+\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{b+c+2a}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{c+a+2b}}\)
\(A=\frac{a^2}{\sqrt{a\left(a+b+2c\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{b\left(b+c+2a\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{c\left(c+a+2b\right)}}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{a\left(a+b+2c\right)}+\sqrt{b\left(b+c+2a\right)}+\sqrt{c\left(c+a+2b\right)}}\)
Xét: \(2\left(\sqrt{a\left(a+b+2c\right)}+\sqrt{b\left(b+c+2a\right)}+\sqrt{c\left(c+a+2b\right)}\right)\)
\(=\sqrt{4a\left(a+b+2c\right)}+\sqrt{4b\left(b+c+2a\right)}+\sqrt{4c\left(c+a+2b\right)}\)
\(\le\frac{4a+a+b+2c+4b+b+c+2a+4c+c+a+2b}{2}=4\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{a\left(a+b+2c\right)}+\sqrt{b\left(b+c+2a\right)}+\sqrt{c\left(c+a+2b\right)}\le2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{a\left(a+b+2c\right)}+\sqrt{b\left(b+c+2a\right)}+\sqrt{c\left(c+a+2b\right)}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Xem câu hỏi đây nhé >4>0 :)