chứng minh: (1+x^2)(1+y^2) >= (x+y)(1+xy) với mọi x; y
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
1
28 tháng 7 2017
\(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2\ge2xy+2x+2y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)(đúng)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 12 2018
Do \(x,y>0\) BĐT tương đương:
\(\dfrac{x^2+2y^2+3}{2}\ge xy+y+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+2y^2+3\ge2xy+2y+2\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2y+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh xong
D
15 tháng 12 2018
Vì x,y>0 nên các mẫu thức dương.
BĐT<=>\(2\left(xy+y+1\right)\le x^2+2y^2+3\\ \Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\left(1\right)\)
(1) đúng với mọi x,y>0 nên BĐT đã cho được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=1.
DN
6 tháng 6 2018
a/ \(x^2+xy+y^2+1\)=\(\left(x^2+2x\dfrac{y}{2}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2\right)+\dfrac{3y^2}{4}+1\)
=\(\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1\) \(\ge\)0
vậy....
b
3 tháng 7 2016
\(\Leftrightarrow x^2-2.3.x+9+1=\left(x-3\right)^2+1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-3\right)^2\ge0\\1>0\end{cases}}\Rightarrow\left(x-3\right)^2+1>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2.\frac{3}{2}.x+\frac{9}{4}+\frac{7}{4}=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\\\frac{7}{4}>0\end{cases}}\Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\)
\(\Leftrightarrow2.\left(x^2+xy+y^2+1\right)=x^2+2xy+y^2+x^2+y^2+2=\left(x+y\right)^2+x^2+y^2+2\)
ta có \(\left(x+y\right)^2\ge0,x^2\ge0,y^2\ge0,2>0\Rightarrow\left(x+y\right)^2+x^2+y^2+2>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^2-2.1x+1+y^2+2.2.y+4+3\)\(=\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+3\)
Ta có \(=\left(x-y\right)^2\ge0,\left(x-1\right)^2\ge0,\left(y+2\right)^2\ge0,3>0\)\(\Rightarrow=\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+3>0\)
T i c k cho mình 1 cái nha mới bị trừ 50 đ
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 2 2020
\(\frac{2}{x^2+y^2+y^2+1+2}\le\frac{2}{2xy+2y+2}=\frac{1}{xy+y+1}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
DD
1
16 tháng 12 2019
Tham khảo tại đây:
Câu hỏi của nguyen tan 12 - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Chỉ cần đặt \(x=a^2;y=b^2\)