CHỨNG MINH RẰNG VỚI MỌI a,b TA CÓ :\(^{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\)LỚN HƠN HOẶC BẰNG \(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 7 2016
\(\frac{1}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2};\frac{z^3}{x\left(y+2z\right)}\ge\frac{x+y+z}{3}\)
28 tháng 7 2017
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{9}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ac}{9}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac}{9}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{9}\ge0\) (luôn đúng \(\forall a;b;c\) )
Vậy \(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)
ML
27 tháng 6 2015
Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab}{1+b^2}\)
\(1+b^2\ge2b\) \(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)\(\Rightarrow-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge-\frac{ab}{2}\)
Do đó: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\); \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Suy ra \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\)
Mặt khác ta có: \(3\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\le1\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Do đó; \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\ge3\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
VT
24 tháng 10 2019
a3+b3 =(a+b)(a2+b2 -ab) \(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=a^2b+ab^2;\)
tương tự a3 +c3 \(\ge a^2c+ac^2;b^3+c^3\ge b^2c+bc^2\)
cộng 3 bdt với nhau ta được 2(a3 +b3+c3) \(\ge a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)+c^2\left(a+b\right)\)(chứng minh xong)
dấu '=' khi a=b=c
3 tháng 8 2017
a)
Đặt \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
\(\Rightarrow A=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\)
Áp dụng BĐT Schwarz , ta có :
\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\) (1)
Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}\ge3\) (2)
Từ (1) và (2) , suy ra : \(A\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
b)
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]^2}{a+b+c}=4\left(a+b+c\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta có:
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}=\)(\(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\)).\(\frac{1}{3}\ge\)\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}.\frac{1}{3}=\)\(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Bài làm :
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel ta có:
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}=\left(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\right).\frac{1}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}.\frac{1}{3}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c