Cho a,b,c là ba số dương. Chứng minh : a2/b+c + b2/a+c + c2/a+b >/ a+b+c/2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TD
1
3 tháng 4 2023
Sửa đề: 1+a^2;1+b^2;1+c^2
\(\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+c+ac}}=\sqrt{\dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{a}{a+c}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\)
\(\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}\right)\)
\(\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\)
=>\(A< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{3}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 2 2021
Đặt \(P=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
6 tháng 1 2022
a: \(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-4a\ge0\)
hay \(\left(a-1\right)^2>=0\)(luôn đúng)
b: \(VT=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)=VP\)
CM
8 tháng 7 2017
a) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
⇒ a + c > b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)
⇒ a + c – b > 0 và a + b – c > 0
Ta có: (b – c)2 < a2
⇔ a2 – (b – c)2 > 0
⇔ (a – (b – c))(a + (b – c)) > 0
⇔ (a – b + c).(a + b – c) > 0 (Luôn đúng vì a + c – b > 0 và a + b – c > 0).
Vậy ta có (b – c)2 < a2 (1) (đpcm)
b) Chứng minh tương tự phần a) ta có :
( a – b)2 < c2 (2)
(c – a)2 < b2 (3)
Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:
(b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2 < a2 + b2 + c2
⇒ b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2 < a2 + b2 + c2
⇒ 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) < a2 + b2 + c2
⇒ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 5 2023
Trước hết, với \(a+b+c=1\) ta có:
\(a^2+b^2+c^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a^3+ab^2\right)+\left(b^3+bc^2\right)+\left(c^3+ca^2\right)+a^2b+b^2c+c^2a\)
\(\ge2a^2b+2b^2c+2c^2a+a^2b+b^2c+c^2a\)
Hay \(a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
Từ đó:
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}=\dfrac{a^4}{a^2b}+\dfrac{b^4}{b^2c}+\dfrac{c^4}{c^2a}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
\(\ge\dfrac{3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2b+b^2c+c^2a}=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
TH
1
TT
6 tháng 8 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:
\(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)Do đó, để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta chỉ cần chứng minh rằng:
\(\frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\le\sqrt{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi lần thứ hai ta nhận được:
\(VT=\frac{\sqrt{a}\sqrt{a\left(1+b+c\right)}+\sqrt{b}\sqrt{b\left(1+c+a\right)}+\sqrt{c}\sqrt{c\left(1+a+b\right)}}{a+b+c}\)
\(\le\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left[a\left(1+b+c\right)+b\left(1+c+a\right)+c\left(1+a+b\right)\right]}}{a+b+c}\)
\(=\sqrt{1+\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}}\)
\(\le\sqrt{1+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}}\)
\(\le\sqrt{1+\frac{2\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}}=\sqrt{3}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
NA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 8 2021
Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)
Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)
CM
15 tháng 9 2019
Vì: a + 1 1 + b 2 = a + 1 − b 2 ( a + 1 ) 1 + b 2 ; 1 + b 2 ≥ 2 b n ê n a + 1 1 + b 2 ≥ a + 1 − b 2 ( a + 1 ) 2 b = a + 1 − a b + b 2
Tương tự: b + 1 1 + c 2 ≥ b + 1 − b c + c 2 ; c + 1 1 + a 2 ≥ c + 1 − c a + a 2 ⇒ M ≥ a + b + c + 3 − ( a + b + c ) + ( a b + b c + c a ) 2 = 3 + 3 − ( a b + b c + c a ) 2
Chứng minh được: 3 ( a b + b c + c a ) ≤ ( a + b + c ) 2 = 9 a c ⇒ 3 − ( a b + b c + c a ) 2 ≥ 0 ⇒ M ≥ 3
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Giá trị nhỏ nhất của M bằng 3.