cho a, b, c >0. Chứng minh (a^2/(b + c) + b^2/(c + a) + c^2/(c + a) >= (a + b + c)/2
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)Cho a,b,c >0
Chứng minh bc/a^2(b+c) + ca/b^2(c+a) +ab/c^2(a+b) > hoặc = 1/2(1/a+1/b+1/c)
2) Cho a,b,c>0 1/a + 1/b + 1/c =1
Chứng minh (b+c)/a^2 + (c+a)/b^2 + (a+b)/c^2 > hoặc = 2
Đọc tiếp...
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{a+b+c}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=4\left(a+b+c\right)\)
Gái xinh review app chất cho cả nhà đây: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618 Link tải app: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
Câu trả lời hay nhất: áp dụng BĐT bunhiacopxki
(a² + b² + c²).(1+1+1) ≥ (a.1 + b.1 + c.1)² = 1
=> a² + b² + c² ≥ 1/3
dấu "=" xảy ra <=> a/1 = b/1 = c/1 => a = b = c = 1/3
tk mk nha $_$
a^2 +b^2 +c^2 =1 chứ không phải là nhỏ hơn 0 . mình giải như sau
a,b,c>0 và a^2 + b^2 + c^2 =1
=>a^2 <1 ;b^2 <1 ; c^2 <1
a/(b^2+c^2) + b/(a^2+c^2) + c/(b^2+a^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2)
<=> a/(1-a^2) + b/(1-b^2)+c/(1-c^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2)
ta cần chứng minh
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2
ta có:
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2 <=> 1/(1-a^2) >= (3√3)/2 .a
<=> 1 >= (3√3)/2 .a(1-a^2)
<=> 2/(3√3) >= a(1-a^2)
<=> 4/27 >= a^2.(1-a^2)(1-a^2) (**)
áp dụng bđt co sy cho 3 số dương 2a^2 ; 1-a^2 ; 1-a^2
ta có:
2a^2.(1-a^2)(1-a^2) <= (2a^2 + 1-a^2 + 1-a^2)^3/27 = 8/27
=> a^2.(1-a^2)(1-a^2) <= 4/27
=> (**) luôn đúng
=>
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2
tương tự ta có:
b/(1-b^2) >= (3√3)/2 . b^2
c/(1-c^2) >= (3√3)/2 .c^2
=> a/(1-a^2) + b/(1-b^2)+c/(1-c^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2) = (3√3)/2
cần c/m bđt : a/b+c +b/a+c + c/a+b >= 3/2 với a,b,c>0 (nesbit) (*)
<=>(a/b+c + 1 ) + (b/a+c + 1) + (c/a+b + 1) >= 3/2 + 1 + 1 + 1
<=>(a+b+c)/b+c + (a+b+c)/a+c + (a+b+c)/a+b >= 9/2
<=> 2(a+b+c)(1/a+b + 1/b+c + 1/a+c) >= 9
<=>[(a+b)+(b+c)+(c+a)](1/a+b + 1/b+c + 1/a+c) >= 9 (1)
Đặt x=a+b;y=b+c;z=a+c
(1) <=> (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) >= 9
<=>(x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(z/x+x/z) >= 6
<=>(x/y+y/x-2)+(y/z+z/y-2)+(z/x+x/z-2) >= 0
<=>(x-y)2/xy+(y-z)2/yz+(z-x)2/zx >= 0(luôn đúng)
Vậy bdt (*) là đúng
trở lại bài toán : a2/b+c + b2/a+c + c2/a+b >= (a+b+c)/2
<=>(a2/b+c + a)+(b2/a+c + b)+(c2/a+b + c) >= 3/2(a+b+c)
<=>a(a+b+c)/b+c + b(a+b+c)/a+c + c(a+b+c)/a+b >= 3/2(a+b+c)
<=>a/b+c + b/a+c + c/a+b >= 3/2 (bđt (*))
Vậy có đpcm