chứng tỏ rằng 2+2^2+...+2^100 chia hết cho 31
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 10 2022
Sửa đề: \(B=2+2^2+2^3+...+2^{100}\)
\(=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\cdot\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{97}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)
\(=15\left(2+2^5+...+2^{97}\right)⋮5\)
\(B=2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)
\(=31\left(2+2^6+...+2^{96}\right)⋮31\)
LB
1
TN
18 tháng 9 2017
Gọi C là giá trị của biểu thức trên
a) CMR : C chia hết cho 31
\(C=2+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)
\(C=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+\left(2^6+2^7+2^8+2^9+2^{19}\right)+...+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)
\(C=2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)
\(C=2.31+2^6.31+...+2^{96}.31\)
\(C=31\left(2+2^6+2^{10}+...+2^{96}\right)⋮31\)(đpcm)
b) CMR : C chia hết cho 5
\(C=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\)
\(=\left(2+2^3\right)+\left(2^2+2^4\right)+...+\left(2^{97}+2^{99}\right)+\left(2^{98}+2^{100}\right)\)
\(=2\left(1+2^2\right)+2^2\left(1+2^2\right)+...+2^{97}\left(1+2^2\right)+2^{98}\left(1+2^2\right)\)
=\(2.5+2^2.5+...+2^{97}.5+2^{98}.5\)
\(=5\left(2+2^2+...+2^{97}+2^{98}\right)⋮5\)(đpcm)
Vậy 2 + 2^2 + 2^3 + ...+ 2^98 + 2^99 + 2^100 vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 31
NT
3
17 tháng 3 2017
chắc bạn chép sai đầu bài ý a rồi , mình sửa lại nhé
Đặt A=\(2+2^2+2^3+...+2^{100}\)
Tổng A có :(100-1):1+1=100(số hạng)
=>A=\(2+2^2+2^3+...+2^{100}\)
A=\(\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+\left(2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}\right)+...+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)
(có \(\dfrac{100}{5}=20\) nhóm , mỗi nhóm có 5 số hạng)
A=\(2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)
A=\(2.31+2^6.31+...+2^{96}.31\)
A=\(31.\left(2+2^6+...+2^{96}\right)⋮31\)(đpcm)
PT
18 tháng 3 2017
Sửa đề câu a tí nhé:
Chứng tỏ \(\left(2+2^2+2^3+...+2^{100}\right)\)chia hết cho 31
Giải:
Đặt \(S=\left(2+2^2+2^3+...+2^{100}\right)\)
\(=2.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right).2^{96}\)
\(=2.31+2^6.31+...+2^{96}.31\)
\(=31.\left(2+2^6+...+2^{96}\right)\)
\(\Rightarrow S⋮31\)
LV
1
P
8 tháng 5 2015
c1:ta có S=2+2^2+2^3+...+2^99+2^100
=>nhóm 5 số đầu lấy 2 ra ngoài ta sẽ được2 nhân với 31
tương tự với các số sau
có số số hạng của S là 100 chia hết cho 5 nên ta sẽ được 20 cặp có nhân tử là 31 cuốicùng đặt 31 ra ngoài làm nhân tử chung thì được dpcm
c2:S = 2 + 2^2+2^3+...+2^99+2^100
Suy ra 2S = 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^100 + 2^101
2S - S = 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^100 + 2^101 - (2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^99 + 2^100) = 2^101 - 2
S = 2^101 - 2 = 2 (2^100 - 1)
2^5 = 32 đồng dư với 1 modun 31
Suy ra (2^5)^20 đồng dư với 1 modun 31
Hay 2^100 đồng dư với 1 modun 31
Nên 2^100 - 1 chia hết cho 31
Vậy S chia hết cho 31
21 tháng 1 2021
lg
a)C=3+3^2+3^3+...+3^100
=(3+3^2+3^3+3^4)+...+(3^96+3^97+3^98+3^99+3^100)
=(3.1+3.3+3.3^2+3.3^3)+...+(3^96.1+3^96.3+3^96.3^2+3^96.3^3)
=3.(1+3+3^2+3^3)+...+3^96.(1+3+3^2+3^3)
=3.40+...+3^96.40
=40.(3+...+3^96) chia hết cho 40
=>C chia hết cho 40
Vậy C chia hết cho 40
phần b làm tương tự
5 tháng 2 2021
a, sai đề
b,Ta có :
C=2+2^2+2^3+2^4+2^5...+2^96+2^97+2^98+2^99+2^100
= (2+2^2+2^3+2^4+2^5)+...+(2^96+2^97+2^98+2^99+2^100)
= (2.1+2.2+2.2^2+2.2^3+2.2^4)+...+(2^96.1+2^96.2+2^96.2^2+2^96.2^3+2^96.2^4)
=2. (1+2+2^2+2^3+2^4) +...+2^96.(1+2+2^2+2^3+2^4)
=2.31+...+2^96.31
=31. (2+...+2^96) chia hết cho 31
=>C chia hết cho 31
25 tháng 10 2020
1) \(1+4+4^2+4^3+...+4^{2012}\)
\(=\left(1+4+4^2\right)+\left(4^3+4^4+4^5\right)+...+\left(4^{2010}+4^{2011}+4^{2012}\right)\)
\(=21+21\cdot4^3+...+21\cdot4^{2010}\)
\(=21\cdot\left(1+4^3+...+4^{2010}\right)\) chia hết cho 21
2) \(1+7+7^2+7^3+...+7^{101}\)
\(=\left(1+7\right)+\left(7^2+7^3\right)+...+\left(7^{100}+7^{101}\right)\)
\(=8+8\cdot7^2+...8\cdot7^{100}\)
\(=8\cdot\left(1+7^2+...+7^{100}\right)\) chia hết cho 8
3) CM chia hết cho 5:
\(2+2^2+2^3+2^4+...+2^{100}\)
\(=\left(2+2^3\right)+\left(2^2+2^4\right)+...+\left(2^{98}+2^{100}\right)\)
\(=5\cdot2+5\cdot2^2+...+5\cdot2^{98}\)
\(=5\cdot\left(2+2^2+...+2^{98}\right)\) chia hết cho 5
CM chia hết cho 31:
\(2+2^2+2^3+...+2^{100}\)
\(=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+...+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)
\(=2\cdot31+...+2^{96}\cdot31\)
\(=31\cdot\left(2+...+2^{96}\right)\) chia hết cho 31
Ta có 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + ... + 2100
= 2 ( 1 + 22 + 23 + 24 ) + ... + 296 ( 1 + 22 + 23 + 24 )
= 2 ( 1 + 4 + 8 + 16 ) + ... + 296 ( 1 + 4 + 8 + 16 )
= 2 . 31 + ... + 296 . 31
= 31 ( 2 + ... + 296 ) ⋮ 31 vì 31 ⋮ 31
Vậy 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + ... + 2100 ⋮ 31