Question

[Nguyễn Thị Thanh Ngân]

Cho hàm số y=mx+m-3(dm); y=\(-\frac{1}{m}x+\frac{1-m}{m}\)(dm') (m là tham số)

Gọi K là giao điểm của(dm) và (dm'). Chứng Minh rằng K thuộc một đường cố định.

Answer 1

[Trần Quốc Đạt]

(Đề kiểu này quá nặng, đầy kĩ thuật...!!!)

Bước 1: Ta sẽ CM \(K\) có toạ độ \(\left(\frac{-m^2+2m+1}{m^2+1};\frac{-m^2+2m-3}{m^2+1}\right)\) (bước này bạn tự làm nha).

Bước 2: Ta sẽ tìm max của hàm số \(g=\frac{-m^2+2m+1}{m^2+1}\).

Nhân chéo lên: \(-m^2+2m+1=gm^2+g\) hay \(\left(g+1\right)m^2-2m+\left(g-1\right)=0\).

Coi đây là phương trình bậc 2 theo \(m\), giải như bình thường.

\(\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(g+1\right)\left(g-1\right)=2-g^2\).

Để \(m\) tồn tại thì pt phải có nghiệm, tức là \(\Delta'=2-g^2\ge0\) (tới đây dừng được rồi).

------

Bước 3: Xét hàm số \(f\left(x\right)=\sqrt{2-x^2}-2\) (với ĐKXĐ \(2-x^2\ge0\)).

Do đó \(g=\frac{-m^2+2m+1}{m^2+1}\) thoả ĐKXĐ này (ở bước 2 mới CM).

Ta tính \(f\left(\frac{-m^2+2m+1}{m^2+1}\right)=\frac{-m^2+2m-3}{m^2+1}\) (biến đổi khá dài nhưng nói chung là làm được).

Tức là \(f\left(x\right)=y\) với \(x,y\) là hoành độ và tung độ của \(K\).

Vậy \(K\) di động trên đồ thị của hàm số \(y=\sqrt{2-x^2}-2\) (mình xin không giải thích tại sao lại nghĩ ra hàm số này).