Cho hàm số \(y=x^3-\left(m+6\right)x^2+\left(2m+9\right)x-2\). Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn đáp án C.
Ta có y ' = 3 x 2 - 2 ( m + 1 ) x + m 2 - 2
trước tiên ta phải có phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt
Điều kiện hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về một phía đối với trục hoành là y x 1 . y x 2 > 0
⇔ y = 0 có đúng một nghiệm thực.
Thử trực tiếp các giá trị của m∈{−1,0,1,2} nhận các giá trị m∈{−1,0,2} để y = 0 có đúng một nghiệm thực.
a) Xét hàm số \(y=ax^4+bx^2+c\)
Ta có \(y'=4ax^3+2bx=2x\left(2ax^2+b\right)\)
\(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(2ax^2+b=0\left(1\right)\)
Đồ thị hàm số có 3 cực trị phân biệt khi và chỉ khi \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \(\Leftrightarrow ab< 0\) (*)
Với điều kiện (*) thì đồ thị có 3 điểm cực trị là :
\(A\left(0;c\right);B\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a},}c-\frac{b^2}{4a}\right);C\left(\sqrt{-\frac{b}{2a},}c-\frac{b^2}{4a}\right)\)
Ta có \(AB=AC=\sqrt{\frac{b^2-8ab}{16a^2}};BC=\sqrt{-\frac{2b}{a}}\) nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi vuông tại A.
Khi đó \(BC^2=2AB^2\Leftrightarrow b^3+8a=0\)
Do đó yêu cầu bài toán\(\Leftrightarrow\begin{cases}ab< 0\\b^3+8a=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\left(m+1\right)< 0\\-8\left(m+1\right)^3+8=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow m=0\)
b) Ta có yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\begin{cases}ab< 0\\OA=BC\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\left(m+1\right)< 0\\m^2-4\left(m+1\right)=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m=2\pm2\sqrt{2}\)
1. Để 2 đồ thị hàm số đã cho là hai đường thẳng song song thì
\(\left\{{}\begin{matrix}m+1=2m+1\\2m\ne3m\end{matrix}\right.\left(ĐK:m\ne-1,-\dfrac{1}{2}\right)\)
Hệ phương trình tương đương với:
\(\left\{{}\begin{matrix}m=0\\m\ne0\end{matrix}\right.\Rightarrow\text{Hệ\:phương\:trình\:vô\:nghiệm}\)
Vậy không tồn tại giả trị m để đồ thị của hai hàm số trên song song.
2. Để giao điểm hai đồ thì nằm trên trục hoành thì y = 0.
\(y=\left(m+1\right)x+2m=0\Rightarrow x=-\dfrac{2m}{m+1}\) (1)
\(y=\left(2m+1\right)x+3m=0\Rightarrow x=-\dfrac{3m}{2m+1}\) (2)
và \(m+1\ne2m+1\Rightarrow m\ne0\) (3)
Từ (1) và (2) và (3) ta tìm được m = 1.
Hàm số \(y=\left(m-2\right)x+m^2-3\) cắt đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 4
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow0=4\left(m-2\right)+m^2-3\)
\(\Leftrightarrow m^2+4m-11=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2+\sqrt{15}\\m=-2-\sqrt{15}\end{matrix}\right.\)
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 4 => A(4;0)
thay A(4;0) vào hàm số ta có:
\(\left(m-2\right).4+m^2-3=0\)
\(\Leftrightarrow4m-8+m^2-3=0\\ \Leftrightarrow m^2+4m-11=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2+\sqrt{15}\\m=-2-\sqrt{15}\end{matrix}\right.\)
a) Ta có : \(y'=3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)\)
Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu nằm 2 phía đối với trục tung <=> phương trình : \(3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
\(\Leftrightarrow P< 0\Leftrightarrow m\left(m-3\right)< 0\Leftrightarrow0< m< 3\)
Vậy \(0< m< 3\) là giá trị cần tìm
b) Khi m = 1 ta có : \(y=x^3-2x\).
Gọi \(M\left(a;a^3-2a\right)\in\left(C\right),a\ne0\)
Ta có \(y'=3x^2-2\) nên hệ số góc của \(\Delta\) là \(y'\left(a\right)=3a^2-2\)
Ta có \(\overrightarrow{OM}\left(a;a^3-2a\right)\) nên hệ số góc đường thẳng OM là \(k=a^2-2\)
Do đó : \(\Delta\perp OM\Leftrightarrow y'_a.k=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(3a^2-2\right)\left(a^2-2\right)=-1\Leftrightarrow3a^4-8a^2+5=0\)
\(M_1\left(1;-1\right);M_1\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a^2=1\\a^2=\frac{5}{3}\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=\pm1\\a=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\)(Thỏa mãn)
Suy ra có 4 điểm thỏa mãn đề bài :\(M_1\left(1;-1\right);M_2\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\)
Vì hai đồ thị cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên n=-4
=>m=-2
Chọn đáp án B
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình :
Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1
Ta có : \(y=x^3-\left(m+6\right)x^2+\left(2m+9\right)x-2\left(C_m\right)\)
PTHĐGĐ của \(C_m\) với Ox : \(x^3-\left(m+6\right)x^2+\left(2m+9\right)x-2=0\) (1)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[x^2-\left(m+4\right)x+1\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x^2-\left(m+4\right)x+1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
(Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của Ox \(\Leftrightarrow\) (1) có 3 no p/b
\(\Leftrightarrow\left(2\right)\) có 2 no p/b \(\ne2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m+4\right)^2-4>0\\g\left(2\right)\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+2\right)\left(m+6\right)>0\\2^2-2\left(m+4\right)+1\ne0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m< -6\\m>-2\end{matrix}\right.\\m\ne-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-\dfrac{3}{2}\\m>-2\end{matrix}\right.\)
Vậy ...