Tìm tất cả các số nguyên tố \(p\)sao cho \(\sqrt{1+p+p^2+p^3+p^4}\)là số hữu tỷ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
1
26 tháng 7 2018
Để 7/n-3 là số nguyên
=> 7 chia hết cho n - 3
=> n - 3 thuộc Ư(7) = {1;-1;7;-7}
nếu n - 3 = 1 => n = 4 (Loại, vì n là số nguyên tố)
n - 3 = -1 => n = 2 (TM)
n - 3 = 7 => n = 10 (Loại)
n - 3 = -7 => n = -4 (Loại)
KL: n = 2
20 tháng 9 2018
Xửa đề:
\(\frac{x-y\sqrt{2015}}{y-z\sqrt{2015}}=\frac{m}{n}\) (vơi m, n thuộc Z)
\(\Leftrightarrow xn-ym=\left(yn-zm\right)\sqrt{2015}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xn-ym=0\\yn-zm=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{m}{n}=\frac{y}{z}\)
\(\Rightarrow xz=y^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+2xz+z^2-y^2=\left(x+z+y\right)\left(x+z-y\right)\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=1\left(l\right)\\x+z-y=1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x+z=y+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xz+z^2=y^2+2y+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+\left(y-1\right)^2+z^2=2\)
\(\Rightarrow x=y=z=1\)
7 tháng 10 2018
Bạn gõ thừa số "1" thì phải ?
Đặt \(\frac{x+\sqrt{2017}y}{y+\sqrt{2017}z}=m\) (với \(m\in Q\))
\(\Rightarrow x+\sqrt{2017}y=my+mz\sqrt{2017}\)\(\Leftrightarrow\left(x-my\right)-\sqrt{2017}\left(y-mz\right)=0\)(*)
+) Nếu \(y-mz\ne0\) thì: \(\sqrt{2017}=\frac{-\left(x-my\right)}{y-mz}\) (1)
Ta có: \(x;y;z\in N;m\in Q\Rightarrow\frac{-\left(x-my\right)}{y-mz}\in Q\) (2)
\(\sqrt{2017}\in I\) (Do 2017 không phải số chính phương) (3)
Từ (1); (2) và (3) => Mâu thuẫn => \(y-mz\ne0\)(loại)
+) Nếu \(y-mz=0\) thì: Từ (*) => \(\hept{\begin{cases}x-my=0\\y-mz=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=my\\y=mz\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\\x=m^2z\\y=mz\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y^2=xz\\x=m^2z\\y=mz\end{cases}}\)
Đặt \(x^2+y^2+z^2=p\) (p nguyên tố) \(\Rightarrow\left(x+z\right)^2-2xz+y^2=p\)
\(\Rightarrow\left(x+z\right)^2-y^2=p\)(Do y2 = xz) \(\Leftrightarrow\left(x+z-y\right)\left(x+y+z\right)=p\)
Ta thấy x;y;z thuộc N* => \(x+z-y\le x+y+z\)
Nên \(\hept{\begin{cases}x+z-y=1\left(4\right)\\x+y+z=p\end{cases}}\)(Vì p là số nguyên tố)
Lại có: \(x^2+y^2+z^2=p\Rightarrow m^4z^2+m^2z^2+z^2=p\) (Do x = m2z; y = mz)
\(\Leftrightarrow z^2\left(m^4+m^2+1\right)=p\Rightarrow\hept{\begin{cases}z=1\\m^4+m^2+1=p\end{cases}}\)(p nguyên tố)
Thay z=1 vào (4) ta có: \(x-y+1=1\Leftrightarrow x=y\)
\(m^4+m^2+1=p\Leftrightarrow\left(m^2+m+1\right)\left(m^2-m+1\right)=p\)
\(\Rightarrow m^2-m+1=1\Leftrightarrow m^2-m=0\Leftrightarrow m\left(m-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=1\\m=1\end{cases}}\)
+) Nếu m=0 thì: \(\frac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}=0\Rightarrow x+y\sqrt{2017}=0\)(Do \(y+z\sqrt{2017}\ne0\))
Mà x;y thuộc N* nên \(x+y\sqrt{2017}>0\)=> Loại.
+) Nếu m=1 thì \(x+y\sqrt{2017}=y+z\sqrt{2017}\Rightarrow y\sqrt{2017}=z\sqrt{2017}\)(x=y)
\(\Rightarrow y=z\Rightarrow x=y=z=1\) (Vì z=1)
Khi đó: \(\hept{\begin{cases}\frac{x+\sqrt{2017}y}{y+\sqrt{2017}z}=1\\x^2+y^2+z^2=3\end{cases}}\) (thỏa mãn). Vậy x=y=z=1.
ND
0
25 tháng 7 2019
ĐK \(k\left(k-p\right)\ge0\)
Để \(\sqrt{k^2-pk}\)là số nguyên
=> \(k\left(k-p\right)\)là số chính phương
Gọi UCLN của k và k-p là d
=> \(\hept{\begin{cases}k⋮d\\k-p⋮d\end{cases}}\)
=> \(p⋮d\)
Mà p là số nguyên tố
=> \(\orbr{\begin{cases}p=d\\d=1\end{cases}}\)
+ \(p=d\)=> \(k⋮p\)=> \(k=xp\left(x\in Z\right)\)
=> \(xp\left(xp-p\right)=p^2x\left(x-1\right)\)là số chính phương
=> \(x\left(x-1\right)\)là số chính phương
Mà \(x\left(x-1\right)\)là tích của 2 số nguyên liên tiếp
=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}k=0\\k=p\end{cases}}\)
+\(d=1\)
=>\(\hept{\begin{cases}k=a^2\\k-p=b^2\end{cases}\left(a>b\right)}\)
=> \(p=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
=> \(\hept{\begin{cases}a+b=p\\a-b=1\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}a=\frac{p+1}{2}\\b=\frac{p-1}{2}\end{cases}}\)
=> \(k=\frac{\left(p+1\right)^2}{4}\)với p lẻ
Vậy \(k=0\)hoặc k=p hoặc \(k=\frac{\left(p+1\right)^2}{4}\forall plẻ\)
25 tháng 7 2019
\(\sqrt{k^2-pk}\) là số nguyên dương => \(k^2-pk>0\Rightarrow k>p\)
Khang chú ý là sẽ không xảy ra k=0 hoặc k=p nhé!
NP
1
MS
14 tháng 12 2023
+Nếu p=2 => p+2=2+2=4 là hợp số (loại)
+Nếu p=3 => p+2=3+2=5, p+4=3+4=7 là các số nguyên tố (thỏa mãn)
+Nếu p>3:p lại là số nguyên tố=>p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2(k\(\in N\)*)
-Với p=3k+1. Ta có: p+2=3k+1+2=3k+3 \(⋮\)3 là hợp số (loại)
-Với p=3k+2. Ta có: p+4=3k+2+4=3k+6\(⋮\)3 là hợp số (loại)
=> p>3 không thỏa mãn
Vậy p=3
MP
0
Ta có : \(\left[p\left(2p+1\right)\right]^2< 4\left(p^4+p^3+p^2+p+1\right)< \left[p\left(2p+1\right)+2\right]^2\)
Suy ra \(4\left(p^4+p^3+p^2+p+1\right)=\left[p\left(2p+1\right)+1\right]^2\) (số kẹp giữa)
Vậy \(\sqrt{p^4+p^3+p^2+p+1}=\frac{p\left(2p+1\right)+1}{2}\) là một số hữu tỉ.