Cho a,b,c thuộc z.Thỏa mãn a+b+c=0
c/m a^5+b^5+c^5 chia hết cho 30
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BB
0
DL
1
4 tháng 8 2019
Ta thấy : \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right).\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
Ta có :\(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)là tích 5 số tự nhiên liên tiếp :
\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)\(⋮\)\(5\)và cũng \(⋮\)\(6\)( cũng là 3 số tự nhiên liên tiếp )
\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)\(⋮\)\(30\)\(\left(1\right)\)
Ta lại có : \(5\)\(⋮\)\(5\)và \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(6\)
\(\Rightarrow5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(30\)\(\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(30\)
Hay \(a^5-a\)\(⋮\)\(30\)
Tương tự \(b^5-b\)và \(c^5-c\)cũng chia hết cho 30
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5-\left(a+b+c\right)\)\(⋮\)\(30\)
Mà \(a+b+c\)\(⋮\)\(30\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5\)\(⋮\)\(30\)\(\left(đpcm\right)\)
LD
0
21 tháng 7 2019
Ta có : \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
Vì \(a-2,a-1,a,a+1,a+2\) là 5 số nguyên liên tiếp nên h của chúng chia hết cho 5 và chia hết cho 2
\(=>a^5-a⋮5\)(1)
Mà a-1 và a+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên h chúng chia hết cho 2
\(a^5-a⋮2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(a^5-a⋮30\)
Tương tự ta có : \(b^5-b⋮30;c^5-c⋮30\)
\(=>a^5+b^5+c^5-\left(a+b+c\right)⋮30\)
Mà \(a+b+c=2020⋮30\) nên \(a^5+b^5+c^5⋮30\)
QT
1
16 tháng 1 2017
Ta có a+b+c=0 sẽ chia hết cho 30
Và 30=2*3*5
Lại có \(a^2\equiv a\) (mod2) =>\(a^4\equiv a^2\equiv a\) (mod 2)
\(\Rightarrow a^5\equiv a^2\equiv a\) (mod 2)
\(b^3\equiv b\) (mod 3) \(\Rightarrow b^5\equiv b^3=b\) (mod 3)
\(c^5\equiv c\) (mod 5)
Suy ra : \(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\) (mod 2.3.5)
Vậy \(a^5+b^5+c^5\) sẽ chia hết cho 30
16 tháng 1 2017
mơn bạn rất rất nhiều mặc dù mk chẳng hiểu cái qué j^^! Dù sao mk cx cm ơn nha!
TH
1
14 tháng 3 2017
Vì a+b+c=0 nên
\(a^5+b^5+c^5=a^5+b^5+c^5-a-b-c\)
= \(a\left(a^4-1\right)+b\left(b^4-1\right)+c\left(c^4-1\right)\)
Lại có :
\(a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)= \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
= \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)
= \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)+5a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)
Vì : \(a\left(a+1\right)\) là tích của 2 số thực liên tiếp nên chia hết cho 3
\(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)là tích của 3 số thực liên tiếp nên chia hết cho 3
\(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)\)là tích của 5 số thực liên tiếp nên chia hết cho 5
Mà (2,3,5) = 1 nên \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)\)chia hết cho 2.3.5=30
Suy ra \(a^5-a\) chia hết cho 30
Cmtt ta được \(b^5-b\) và \(c^5-c\) chia hết cho 30
Suy ra \(a^5+b^5+c^5-a-b-c\) chia hết cho 30 hay
\(a^5+b^5+c^5\) chia hết cho 30 khi a+b+c = 0
DT
0
14 tháng 10 2020
1. Gọi ƯCLN (a,c) =k, ta có : a=ka1, c=kc1 và (a1,c1)=1
Thay vào ab=cd được ka1b=bc1d nên
a1b=c1d (1)
Ta có: a1b \(⋮\)c1 mà (a1,c1)=1 nên b\(⋮\)c1. Đặt b=c1m ( \(m\in N\)*) , thay vào (1) được a1c1m = c1d nên a1m=d
Do đó: \(a^5+b^5+c^5+d^5=k^5a_1^5+c_1^5m^5+k^5c_1^5+a_1^5m^5\)
\(=k^5\left(a_1^5+c_1^5\right)+m^5\left(a_1^5+c_1^5\right)=\left(a_1^5+c_1^5\right)\left(k^5+m^5\right)\)
Do a1, c1, k, m là các số nguyên dương nên \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số (đpcm)
14 tháng 10 2020
2. Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể sư 0 hoặc 1.
Ta có \(a^2+b^2⋮3\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1,1+1, chỉ có 0+0 \(⋮\)3.
Vậy \(a^2+b^2⋮3\)thì a và b \(⋮3\)
b) Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0,1,2,4 (thật vậy, xét a lần lượt bằng 7k, \(7k\pm1,7k\pm2,7k\pm3\)thì a2 chia cho 7 thứ tự dư 0,1,4,2)
Ta có: \(a^2+b^2⋮7\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1, 0+2, 0+4 , 1+1, 1+2, 2+2, 1+4, 2+4, 4+4; chỉ có 0+0 \(⋮7\). Vậy......