CM BĐT: a4+b4 +4>= ab+2(a+b) với mọi a,b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 3 2021
Lời giải:
Kiểu như bạn muốn biến đổi $a^4-b^4$ về dạng có liên quan đến $a+b,ab$ ấy hả?
$a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)[(a+b)^2-2ab]$
Nếu $a^4\geq b^4$ thì: $a^4-b^4=\sqrt{(a-b)^2}(a+b)[(a+b)^2-2ab]$
$=\sqrt{(a+b)^2-4ab}(a+b)[(a+b)^2-2ab]$
Nếu $a^4< b^4$ thì $a^4-b^4=-\sqrt{(a+b)^2-4ab}(a+b)[(a+b)^2-2ab]$
KN
4 tháng 10 2017
theo bài ta có:
a + b + c = 0
=> a = -(b + c)
=> a2 = [-(b + c)]2
=> a2 = b2 + 2bc + c2
=> a2 - b2 - c2 = 2bc
=> ( a2 - b2 - c2)2 = (2bc)2
=> a4 + b4 + c4 - 2a2c2 + 2b2c2 - 2a2c2 = 4b2c2
=> a4 + b4 + c4 = 2a2c2 + 2b2c2 + 2a2c2
=> 2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2c2 + 2b2c2 + 2a2c2
=> 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2
=> 2(a4 + b4 + c4) = 1
=> a4 + b4 + c4 = \(\dfrac{1}{2}\)
TG
10 tháng 4 2021
\(a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\)
Có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\a^2+ab+b^2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
10 tháng 4 2021
Áp dụng BĐT cosi với 2 số không âm:
`a^4+b^4+b^4+b^4>=4\root4{a^4b^12}=4|ab^3|>=4ab^3`
Hoàn toàn tương tự:
`b^4+a^4+a^4+a^4>=4a^3b`
`=>a^4+b^4+b^4+b^4+b^4+a^4+a^4+a^4>=4ab^3+4a^3b`
`<=>4(a^4+b^4)>=4(ab^3+a^3b)`
`<=>a^4+b^4>=ab^3+a^3b`
HV
0
Ta có
2a4 + 2b4 + 8 \(\ge\)2ab + 4a + 4b
<=> (2a4 - 4a2 + 2) + (2b4 - 4b2 + 2) + (2a2 - 4a + 2) + (2b2 - 4b + 2) + (a2 - 2ab + b2) + a2 + b2\(\ge\)0
<=> 2(a2 - 1)2 + 2(b2 - 1)2 + 2(a - 1)2 + 2(b - 1)2 + (a - b)2 + a2 + b2 \(\ge\)0 (đúng)