Question

[Hoàng Thị Diệp]

Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của nó,trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB,vẽ hai tia Ax và By vuông góc với AB.Một góc vuông đỉnh O cắt Ax tại C,cắt By tại D.
a,AC+BD=CD
b,CO là tia phân giác của góc ACD
Có hình luôn được không ạ?

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/ Từ O đựng đường thẳng vuông góc với CD cắt CD tại E

Xét tg vuông BOD có

\(\widehat{BOD}+\widehat{BDO}=90^o\) (1)

Mà \(\widehat{AOC}+\widehat{BOD}=\widehat{ABO}-\widehat{COD}=180^o-90^o=90^o\) (2)

Từ (1) (2) \(\Rightarrow\widehat{AOC}=\widehat{BDO}\) 

Xét tg vuông AOC và tg vuông BDO có

\(\widehat{AOC}=\widehat{BDO}\)

=> tg AOC đồng dạng với tg BDO (g.g.g)\(\Rightarrow\dfrac{AC}{BO}=\dfrac{AO}{BD}\Rightarrow AC.BD=AO.BO\)

Xét tg vuông COD có

\(OC^2=CE.CD\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(OD^2=DE.CD\) (Lý do như trên)

Xét tg vuông AOC có \(OC^2=AC^2+AO^2\) (Pitago)

Xét tg vuông BDO có \(OD^2=BD^2+BO^2\) (Pitago)

\(\Rightarrow AC^2+AO^2=CE.DE\) (3)

\(\Rightarrow BD^2+BO^2=DE.CD\) (4)

Cộng 2 vế của (3) và (4) có

\(AC^2+BD^2+2.AC.BD+AO^2+BO^2-2.AC.BD=CD\left(CE+DE\right)\)

\(\left(AC+BD\right)^2+AO^2+BO^2-2.AC.BD=CD^2\) 

Mà AC.BD=AO.BO (cmt)

\(\Rightarrow\left(AC+BD\right)^2+\left(AO-BO\right)^2=CD^2\)

Mà AO=BO

\(\Rightarrow\left(AC+BD\right)^2=CD^2\Rightarrow AC+BD=CD\) (đpcm)

b/