GIÚP MÌNH CÂU NÀY VỚI,PLEASE !!! CHO \(A+B=4C\)
chứng minh \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{a^2-2ac+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge8\)
gợi ý : ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC \(X^2-XY+Y^2\ge\frac{1}{4}\left(X+Y\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
2 tháng 11 2016
lời giải ở đây Câu hỏi của Hỏi Làm Gì - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
29 tháng 10 2016
Ta có
\(\sqrt{a^2-2ac+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\)
\(=\sqrt{\left(a-c\right)^2+3c^2}+\sqrt{\left(b-c\right)^2+3c^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b-2c\right)^2+3\left(c+c\right)^2}\)
\(=4c\)
Ta chứng minh
\(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge2c=\frac{a+b}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^2-aB+b^2\ge\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow3a^2-6ab+3b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0\left(dung\right)\)
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh
PN
20 tháng 7 2016
Đăt \(2\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{a^2-2ca+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge8c\) \(\left(\alpha\right)\)
Mình xin đề xuất một biện pháp khá ngắn gọn. Hy vọng bạn sẽ tìm cách khác.
Ta có:
\(a^2-ab+b^2=\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
nên \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{a+b}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(2\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge a+b\) \(\left(1\right)\)
Mặt khác, ta cũng có:
\(a^2-2ca+4c^2=\frac{3}{4}\left(a-2c\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+2c\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+2c\right)^2\)
nên \(\sqrt{a^2-2ca+4c^2}\ge\frac{a+2c}{2}\) \(\left(2\right)\)
Khi đó, ta cũng có thể thiết lập được bất đẳng thức tương tự như trên:
\(\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge\frac{b+2c}{2}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế các bđt \(\left(1\right);\) \(\left(2\right);\) và \(\left(3\right)\) ta được:
\(2\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{a^2-2ca+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge a+b+\frac{a+2c}{2}+\frac{b+2c}{2}\)
Hay nói cách khác, \(VT\left(\alpha\right)\ge4c+\frac{a+b}{2}+\frac{4c}{2}=4c+2c+2c=8x=VP\left(\alpha\right)\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a=b\\a=2c\\b=2c\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(a=b=2c\)
T
4 tháng 12 2016
\(A=n^4-16n^2+64+36=n^4+20n^2+100-36n^2=\left(n^2+10\right)^2-36n^2=\left(n^2+6n+10\right)\left(n^2-6n+10\right)\)
A là số nguyên tố và \(n^2+6n+10>n^2-6n+10\) với mọi n nguyên dương
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^2-6n+10=1\\n^2+6n+10=A\end{cases}}\). Đến đây đơn giản rồi nhỉ
TN
4 tháng 12 2016
Bài 1:
Ta có: \(a^2-ab+b^2=\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
Nên \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{a+b}{2}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge a+b\left(1\right)\).Ta cũng có:
\(a^2-2ac+4c^2=\frac{3}{4}\left(a-2c\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+2c\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+2c\right)^2\)
Nên \(\sqrt{a^2-2ac+4c^2}\ge\frac{a+2c}{2}\left(2\right)\), tương tự ta cũng có \(\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge\frac{b+2c}{2}\left(3\right)\)
Cộng theo vế của (1),(2) và (3) ta được
\(2\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{a^2-2ac+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\)
\(\ge a+b+\frac{a+2c}{2}+\frac{b+2c}{2}=4c+\frac{a+b}{2}+\frac{4c}{2}=4c+2c+2c=8c\)
Suy ra điều phải chứng minh
Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\a=2c\\b=2c\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=2c\)
18 tháng 7 2017
đặt \(S=\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4c^2+1}+\frac{c}{4a^2+1}\)
\(=\frac{a^3}{4a^2b^2+a^2}+\frac{b^3}{4b^2c^2+b^2}+\frac{c^3}{4a^2c^2+c^2}\ge\frac{\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2}{4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2+a^2+b^2+c^2}\)
xét hiệu:
1-4(a2b2+b2c2+c2a2)-a2-b2-c2
=2ab+2bc+2ca-4(a2b2+b2c2+c2a2)
=2ab(1-2ab)+2bc(1-2bc)+2ca(1-2ca)
ta có:
\(2ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\le\frac{1}{2};2bc\le\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\le\frac{1}{2};2ca\le\frac{\left(c+a\right)^2}{2}\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2ab\left(1-2ab\right);2bc\left(1-2bc\right);2ca\left(1-2ca\right)\ge0\)
\(\Rightarrow1\ge4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2}{4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+a^2+b^2+c^2}\ge\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4c^2+1}+\frac{c}{4a^2+1}\ge\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2\)
=>đpcm
dấu"=" xảy ra khi 1 số=1;2 số còn lại =0
Ta có
\(2\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\frac{a+b}{2}=2×2c=4c\)
\(\sqrt{a^2-2ac+4c^2}\ge\frac{a+2c}{2}\)
\(\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge\frac{b+2c}{2}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(\ge4c+\frac{a+b+4c}{2}=8c\)
Đề sai rồi đề đúng phải là
\(2\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{a^2-2ac+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge8c\)
VP=8C ms đúng ở đây
Xem câu hỏi