Cho a+b+c=0 .CMR : \(a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 3 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{(\frac{a^2}{b})^2}{c+2}+\frac{(\frac{b^2}{c})^2}{a+2}+\frac{(\frac{c^2}{a})^2}{b+2}\geq \frac{\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)^2}{c+2+a+2+b+2}=\frac{\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)^2}{a+b+c+6}\)
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{b+c+a}=a+b+c\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+6}\)
Đặt \(t=a+b+c\). Áp dụng BĐT AM-GM: \(t=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\)
Ta có:
\(\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+6}=\frac{t^2}{t+6}=\frac{t^2-t-6}{t+6}+1=\frac{(t-3)(t+2)}{t+6}+1\geq 1\) với mọi $t\geq 3$
Do đó: \(\text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+6}\geq 1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 3 2019
Cách khác:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^4}{b^2(c+2)}+\frac{c+2}{9}+\frac{b}{3}+\frac{b}{3}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^4}{81}}=\frac{4}{3}a\)
\(\frac{b^4}{c^2(a+2)}+\frac{a+2}{9}+\frac{c}{3}+\frac{c}{3}\geq 4\sqrt[4]{\frac{b^4}{81}}=\frac{4}{3}b\)
\(\frac{c^4}{a^2(b+2)}+\frac{b+2}{9}+\frac{a}{3}+\frac{a}{3}\geq 4\sqrt[4]{\frac{c^4}{81}}=\frac{4}{3}c\)
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
\(\frac{a^4}{b^2(c+2)}+\frac{b^4}{c^2(a+2)}+\frac{c^4}{a^2(b+2)}\geq \frac{5}{9}(a+b+c)-\frac{2}{3} \)
\(\geq \frac{5}{9}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{2}{3}(\text{AM-GM})=\frac{5}{9}.3-\frac{2}{3}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
T
11 tháng 11 2019
2/ Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\).
Nếu abc = 0 thì có ít nhất một số bằng 0. Giả sử c = 0. BĐT quy về: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b; c = 0.
Nếu \(abc\ne0\). Chia hai vế của BĐT cho \(\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
BĐT quy về: \(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}+3\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}\)
Đặt \(\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x;\sqrt[3]{\frac{b^2}{ca}}=y;\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=z\Rightarrow xyz=1\)
Cần chúng minh: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\) (1)
Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số x - 1, y - 1, z - 1 tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow2xyz\ge2xz+2yz-2z\). Thay vào (1):
\(VT\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2+2xy+2xz+2yz\)
\(\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Vậy (1) đúng. BĐT đã được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.
Check giúp em vs @Nguyễn Việt Lâm, bài dài quá:(
T
6 tháng 7 2020
Để đưa về chứng minh $(1)$ và $(2)$ ta dùng:
Định lí SOS: Nếu \(X+Y+Z=0\) thì \(AX^2+BY^2+CZ^2\ge0\)
khi \(\left\{{}\begin{matrix}A+B+C\ge0\\AB+BC+CA\ge0\end{matrix}\right.\)
Chứng minh: Vì \(\sum\left(A+C\right)=2\left(A+B+C\right)\ge0\)
Nên ta có thể giả sử \(A+C\ge0\). Mà $X+Y+Z=0$ nên$:$
\(AX^2+BY^2+CZ^2=AX^2+BY^2+C\left[-\left(X+Y\right)\right]^2\)
\(={\frac { \left( AX+CX+CY \right) ^{2}}{A+C}}+{\frac {{Y}^{2} \left( AB+AC+BC \right) }{A+C}} \geq 0\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 7 2019
Bạn tham khảo lời giải bài 4 link sau:
Câu hỏi của Bonking - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
8 tháng 1 2020
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm