Rút gọn biểu thức sau: \(\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(c+a\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 11 2016
Phân tích mẫu thức thành nhân tử :
\(a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)\)
\(=a^2\left(b-c\right)+b^2c-ab^2+ac^2-bc^2\)
\(=a^2\left(b-c\right)+bc\left(b-c\right)-a\left(b^2-c^2\right)\)
\(=\left(b-c\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\)
\(=\left(b-c\right)\left[a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right]=\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right).\)
Do đó : \(A=\frac{\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3+\left(a-b\right)^3}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
Nhận xét : Nếu \(x+y+z=0\) thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz.\)
Đặt \(b-c=x,c-a=y,a-b=z\) thì \(x+y+z=0\)
Theo nhận xét trên : \(A=\frac{x^3+y^3+z^3}{-xyz}=\frac{3xyz}{-xyz}=-3.\)
PA
15 tháng 11 2016
Tử:
(b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3
= (b - c + c - a + a - b)3 - 3(b - c + c - a)(b - c + a - b)(c - a + a - b)
= 0 - 3(b - a)(a - c)(c - b)
= 3(a - b)(a - c)(c - b)
Mẫu:
a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b)
= a2(b - c) + b2c - ab2 + ac2 - bc2
= a2(b - c) - a(b2 - c2) + bc(b - c)
= a2(b - c) - a(b - c)(b + c) + bc(b - c)
= (b - c)(a2 - ab - ac + bc)
= (b - c)[a(a - b) - c(a - b)]
= (b - c)(a - b)(a - c)
\(A=\frac{3\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{3\left(c-b\right)}{b-c}\)
S
3 tháng 11 2018
Phân tích mẫu \(a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)\)
\(=a^2\left(b-c\right)+b^2c-ab^2+c^2a-c^2b\)
\(=a^2\left(b-c\right)+bc\left(b-c\right)-a\left(b^2-c^2\right)\)
\(=a^2\left(b-c\right)+bc\left(b-c\right)-a\left(b+c\right)\left(b-c\right)\)
\(=\left(b-c\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)=\left(b-c\right)\left[a\left(a-c\right)-b\left(a-c\right)\right]\)
\(=\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)=-\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(c-a\right)\)
Đặt b - c = x, c - a = y, a - b = z
=> x + y + z = b - c + c - a + a - b = 0
Từ x+y+z=0 => x3+y3+z3=3xyz (tự c/m)
=>\(A=\frac{x^3+y^3+z^3}{-xyz}=\frac{3xyz}{-xyz}=-3\)
26 tháng 11 2021
\(B=\left(\dfrac{a-b}{a^2+ab}-\dfrac{a}{b^2+ab}\right):\left(\dfrac{b^3}{a^3-ab^2}+\dfrac{1}{a+b}\right)\)
\(=\left(\dfrac{a-b}{a\left(a+b\right)}-\dfrac{a}{b\left(a+b\right)}\right):\left(\dfrac{b^3}{a\left(a-b\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{a+b}\right)\)
\(=\dfrac{b\left(a-b\right)-a^2}{ab\left(a+b\right)}:\dfrac{b^3+a\left(a-b\right)}{a\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{ab-b^2-a^2}{ab\left(a+b\right)}\cdot\dfrac{a\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a^2-ab+b^3}\)
\(=\dfrac{\left(a-b\right)\left(ab-b^2-a^2\right)}{b\left(a^2-ab+b^3\right)}\)
\(=\dfrac{-\left(a-b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{b\left(a^2-ab+b^3\right)}\)
Đề lỗi rồi chứ mình ko rút gọn đc nữa
NH
20 tháng 7 2017
a,\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a^2b+b^2a+c^2a+ca^2+b^2c+c^2b\right)\)
Tương tự :
\(\left(b+c-a\right)^3=b^3+c^3-a^3+3\left(a^2b-b^2a+ca^2-ac^2+b^2c+c^2b\right)\)
\(\left(b+a-c\right)^3=b^3-c^3+a^3+3\left(a^2b+b^2a-ca^2+ac^2-b^2c+c^2b\right)\)
\(\left(a+c-b\right)^3=c^3+a^3-b^3+3\left(-a^2b+b^2a+ca^2+ac^2+b^2c-c^2b\right)\)
Biểu thức sau khi rút gọn ta được
24abc
NH
20 tháng 7 2017
b,\(\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3\left(a^2b+b^2a\right)\)
\(\left(c+b\right)^3=c^3+b^3+3\left(c^2b+b^2c\right)\)
\(\left(a+c\right)^3=a^3+c^3+3\left(a^2c+b^2c\right)\)
=>\(\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(c+a\right)^3=\)\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a^2b+b^2a+c^2a+ca^2+b^2c+c^2b\right)\)
Lại có
\(3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(3\left(a^2b+b^2a+c^2a+ca^2+b^2c+c^2b+2abc\right)\right)\)
Biểu thức khi đó trở thành
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)-6abc=2\left(a^2+b^2+c^2-3abc\right)\)
Tặng vk iu
HD
1
10 tháng 3 2018
\(A=\left(a+b+c\right)^3+\left(a-b-c\right)^3-6a\left(b+c\right)^2\)
\(=\left[a+\left(b+c\right)\right]^3+\left[a-\left(b+c\right)\right]^3-6a\left(b+c\right)^2\)
\(=a^3+3a^2\left(b+c\right)+3a\left(b+c\right)^2+\left(b+c\right)^3+a^3-3a^2\left(b+c\right)+3a\left(b+c\right)^2-\left(b+c\right)^3-6a\left(b+c\right)^2\)
\(=2a^3\)
Đặt x = a+b , y = b+c , z = c+a
Thì biểu thức trên trở thành \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy-3xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+2xy-xz-yz+z^2\right)-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
Từ đó thay a,b,c vào rồi rút gọn :)