Cho x,y,z>0.CMR"\(\frac{x^3}{y}\)+\(\frac{y^3}{z}\)+\(\frac{z^3}{x}\ge x^2+y^2+z^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
29 tháng 5 2018
Ta có \(A=\frac{x^4}{x^3+x^2y+xy^2}+...\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^3+y^3+z^3+xy^2+yz^2+zx^2+x^2y+y^2z+z^2x}\)
=> \(A\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(x+y+z\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}\ge\frac{x+y+z}{3}\left(ĐPCM\right)\)
dấu = xảy ra <=> x=y=z>=0
T
17 tháng 1 2019
Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)
Theo giả thiết,ta có: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}=\frac{3}{abc}\)
Nhân hai vế với abc: \(a+b+c=3\) tức là \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Lại có:\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{xyz}\)
Ta cần c/m: \(A\ge\frac{3}{2}\)
Do x,y,z > 0 áp dụng BĐT Cô si: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz=xy+yz+zx\)
Áp dụng BĐT Cô si: \(A\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3y^3z^3}{\left(z+x^2\right)\left(x+y^2\right)\left(y+z^2\right)}}\)
\(=3xyz.\frac{1}{\sqrt[3]{\left(z+x^2\right)\left(x+y^2\right)\left(y+z^2\right)}}\)\(\ge3xyz.\frac{xy+yz+zx}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=\frac{3\left(x^2y^2z+xy^2z^2+x^2yz^2\right)}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\ge\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+1\right)-6xyz}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left[xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+1\right]-6xyz}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz\left[3xyz+1\right]-6xyz}=\frac{3x^2y^2z^2}{9x^2y^2z^2-3xyz}\)
Đặt \(B=\frac{1}{A}=\frac{9x^2y^2z^2-3xyz}{3x^2y^2z^2}\)
Ta sẽ c/m: \(B\ge\frac{2}{3}\).Thật vậy,ta có:
\(B=\frac{1}{A}=\frac{9x^2y^2z^2-3xyz}{3x^2y^2z^2}=3-\frac{3}{3xyz}\)\(=3-\frac{1}{xyz}\ge0\)
Suy ra \(A\ge0?!?\) có gì đó sai sai.Ai biết chỉ giùm
18 tháng 1 2019
Nghĩ mãi mới ra -.- Để ý cái số mũ 3 trên tử khó mà dùng trực tiếp Cô-si hoặc Bunhia nên phải tách nó ra
Ta có: \(\frac{x^3}{x^2+z}=\frac{x^3+xz}{x^2+z}-\frac{xz}{x^2+z}=x-\frac{xz}{x^2+z}\)
\(\ge x-\frac{xz}{2x\sqrt{z}}\)(Cô-si)
\(=x-\frac{\sqrt{z}}{2}\)
\(\ge x-\frac{z+1}{4}\)(Dùng bđt \(\sqrt{z}\le\frac{z+1}{2}\))
Tương tự \(\frac{y^3}{y^2+z}\ge y-\frac{x+1}{4}\)
\(\frac{z^3}{z^2+y}\ge z-\frac{y+1}{4}\)
Cộng từng vế của các bđt trên lại được
\(A\ge x+y+z-\frac{x+y+z+3}{4}=\frac{3x+3y+3z-3}{4}\)
\(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3}{4}\)
Từ điều kiện \(xy+yz+zx=3xyz\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(a,b,c>0\right)\)được
\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge3\)
Quay trở lại với A
\(A\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3}{4}\ge\frac{3.3}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)(Do \(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\))
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\xy+yz+zx=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
Vậy .............
NT
1
VT
28 tháng 10 2017
ta caàn chứng minh bđt
\(\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}\ge\frac{x}{x+xz}+\frac{y}{y+yz}=\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+z}=\frac{2}{1+z}\)
tương tự + vào, dùng svác sơ
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 2 2020
Lời giải:
Ta thấy $\frac{x}{y^2+z^2}=\frac{x}{1-x^2}$
Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau:
$\frac{x}{1-x^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3x^2-1)$
$\Leftrightarrow x(\sqrt{3}x-1)^2(\sqrt{3}x+2)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $x>0$
Hoàn toàn tương tự:
$\frac{y}{x^2+z^2}=\frac{y}{1-y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3y^2-1)$
$\frac{z}{x^2+y^2}=\frac{z}{1-z^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3z^2-1)$
Cộng theo vế và thu gọn:
$P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.3(x^2+y^2+z^2-1)$
Hay $P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 2 2020
Lời giải:
Ta thấy $\frac{x}{y^2+z^2}=\frac{x}{1-x^2}$
Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau:
$\frac{x}{1-x^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3x^2-1)$
$\Leftrightarrow x(\sqrt{3}x-1)^2(\sqrt{3}x+2)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $x>0$
Hoàn toàn tương tự:
$\frac{y}{x^2+z^2}=\frac{y}{1-y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3y^2-1)$
$\frac{z}{x^2+y^2}=\frac{z}{1-z^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}(3z^2-1)$
Cộng theo vế và thu gọn:
$P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.3(x^2+y^2+z^2-1)$
Hay $P\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$
T
20 tháng 11 2019
Ta có: \(\frac{1}{2}.2x\left(1-x\right)\left(1-x\right)\le\frac{1}{2}\left[\frac{2x+1-x+1-x}{3}\right]^3=\frac{4}{27}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}\left(1-x\right)\le\frac{2\sqrt{3}}{9}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}\left(1-x\right)}\ge\frac{9}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x}}{1-x}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x\). Thiết lập tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được đpcm.
3 tháng 5 2018
\(A=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{xy+2zx}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)
29 tháng 5 2019
https://diendantoanhoc.net/topic/167390-cmr-sum-fracx3y38geq-frac19frac227xyyzzx/
bạn tham khảo nhé
T
26 tháng 10 2019
Bài này dùng Cauchy ngược dấu:
\(\Sigma\frac{2x^2}{x+y^2}=\Sigma\frac{2x\left(x+y^2\right)-2xy^2}{x+y^2}=2\left(x+y+z\right)-2.\Sigma\frac{xy^2}{x+y^2}\)
Từ đây ta có thể quy bđt vế chứng minh: \(\Sigma\frac{xy^2}{x+y^2}\le\frac{x+y+z}{2}\)
Ta có: \(VT\le\Sigma\frac{xy^2}{2\sqrt{xy^2}}=\Sigma\frac{\sqrt{xy.y}}{2}\le\frac{xy+yz+zx+x+y+z}{4}\)
Như vậy cần chứng minh: \(xy+yz+zx\le x+y+z\)
Ta có: \(VT=\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}\le x+y+z\)
Từ đây có đpcm:)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{x^3}{(y+2z)^2}+\frac{y+2z}{27}+\frac{y+2z}{27}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{(y+2z)^2}.\frac{y+2z}{27}.\frac{y+2z}{27}}=\frac{x}{3}$
$\frac{y^3}{(z+2x)^2}+\frac{z+2x}{27}+\frac{z+2x}{27}\geq \frac{y}{3}$
$\frac{z^3}{(x+2y)^2}+\frac{x+2y}{27}+\frac{x+2y}{27}\geq \frac{z}{3}$
Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn thì:
$\sum \frac{x^3}{(y+2z)^2}+\frac{x+y+z}{9}\geq \frac{x+y+z}{3}$
$\Rightarrow \sum \frac{x^3}{(y+2z)^2}\geq \frac{2}{9}(x+y+z)$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
Ta có \(\frac{x^3}{y}+xy\ge2x^2\)
\(\frac{y^3}{z}+yz\ge2y^2\)
\(\frac{z^3}{x}+xz\ge2z^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)-xy-yz-xz\)
\(\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)-x^2-y^2-z^2=x^2+y^2+z^2\)