Cho 3 số dương a,b,c.CMR: bc^2/a+ca^2/b+ab^2/c>=ab+bc+ca
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
QT
19 tháng 5 2018
\(\sum\dfrac{a}{b^2+bc+c^2}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab^2+abc+ac^2+bc^2+abc+ba^2+ca^2+abc+cb^2}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}=\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ac}\)
PK
16 tháng 8 2016
Ta có :
\(9\left(ab+bc+ac\right)=3\left(3ab+3bc+3ac\right)< 3\left(a+b+c\right)^2\)
sử dụng bunhiacôpski
\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(a^2+2\right)\left(1+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right)\)
Ta cần chứng minh
\(\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(1+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right)\)
nhân ra rồi rút gọn sẽ có kết quả là :
\(\frac{b^2+c^2}{2}+b^2c^2-3bc+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2+c^2}{2}+\left(bc-1\right)^2-bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2+c^2}{2}\ge bc\)
23 tháng 8 2016
Ta cần chứng minh : a1+a2+...+ann≥a1.a2...an−−−−−−−−−√na1+a2+...+ann≥a1.a2...ann với n∈N*n∈N*
Hiển nhiên bđt đúng với n = 2 , tức là a1+a22≥a1a2−−−−√a1+a22≥a1a2 (1)
Giả sử bđt đúng với n = k , tức là a1+a2+...+akk≥a1.a2...ak−−−−−−−−−√ka1+a2+...+akk≥a1.a2...akk với k>2k>2
Ta sẽ chứng minh bđt cũng đúng với mọi n = k + 1
Không mất tính tổng quát, đặt a1≤a2≤...≤ak≤ak+1a1≤a2≤...≤ak≤ak+1
thì : ak+1≥a1+a2+...+akkak+1≥a1+a2+...+akk . Lại đặt a1+a2+...+akk=x,x≥0a1+a2+...+akk=x,x≥0
⇒ak+1=x+y,y≥0⇒ak+1=x+y,y≥0 và xk=a1.a2...akxk=a1.a2...ak (suy ra từ giả thiết quy nạp)
Ta có : (a1+a2+...+ak+1k+1)k+1=(kx+x+yk+1)k+1=(x(k+1)+yk+1)k+1=(x+yk+1)k+1(a1+a2+...+ak+1k+1)k+1=(kx+x+yk+1)k+1=(x(k+1)+yk+1)k+1=(x+yk+1)k+1
≥xk+1+(k+1).yk+1.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1≥xk+1+(k+1).yk+1.xk=xk+1+y.xk=xk(x+y)≥a1.a2...ak.ak+1
Suy ra (a1+a2+...+ak+1k+1)k+1≥a1.a2...ak+1−−−−−−−−−−√k+1(a1+a2+...+ak+1k+1)k+1≥a1.a2...ak+1k+1
Vậy bđt luôn đúng với mọi n > 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
C
0
G
18 tháng 2 2019
Vì a;b;c dương nên tồn tại \(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\)
Đặt:\(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\rightarrow x;y;z\)
Ta viết lại bđt cần chứng minh: \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge3\left(x^2yz+y^2xz+z^2xy\right)\)
Ta có: \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge3\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy: \(x^2y^2+y^2z^2\ge2\sqrt{x^2y^4z^2}=2xy^2z\)
\(y^2z^2+z^2x^2\ge2\sqrt{x^2y^2z^4}=2xyz^2\)
\(x^2z^2+x^2y^2\ge2\sqrt{x^4y^2z^2}=2x^2yz\)
Cộng theo vế và rg:
\(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge xyz^2+x^2yz+xy^2z\)
-> đpcm. Bằng khi x=y=z hay a=b=c
1 tháng 9 2020
Câu a bạn chứng minh được rồi là xong nha !!!!!!!
Câu b)
\(B=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(B=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)
Ta lần lượt áp dụng BĐT Cauchy 2 số và sử dụng câu a sẽ được:
=> \(B\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{8.3\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)
=> \(B\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
DẤU "=" Xảy ra <=> \(a=b=c\)
Vậy ta có ĐPCM !!!!!!!!
\(\dfrac{bc^2}{a}+\dfrac{ca^2}{b}+\dfrac{ab^2}{c}=\dfrac{b^2c^2}{ab}+\dfrac{c^2a^2}{bc}+\dfrac{a^2b^2}{ac}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)