cho các số dương x,y thỏa mãn x+y=1. Tìm GTNN của P=(2x + 1/x)^2 + (2y + 1/y)^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PT
1
20 tháng 5 2021
x+y=k (k là hằng số > 0)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(P\ge\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]^2}{2}\ge\frac{\left(2k+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2k+\frac{4}{k}\right)^2}{2}=\frac{\left(\frac{2k^2+4}{k}\right)^2}{2}\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = k/2
Vậy ...
k bằng bao nhiêu bạn tự thay số nhé :c mình chỉ làm dàn vậy thôi :>
UP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 2 2022
\(\left(x-y\right)^2\ge0;\forall xy\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{2}{xy}\Rightarrow xy\ge4\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\ge2\sqrt{4}=4\)
\(C_{min}=4\) khi \(x=y=2\)
Hoặc là:
\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{x+y}\right)^2=\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge16\Rightarrow x+y\ge4\)
TN
30 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{5^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
UP
Cho x,y là các số dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{2}\)
Tìm GTNN của C = x+y
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 2 2022
Đề bài sai, C không có giá trị nhỏ nhất
Nếu \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{2}\) thì có thể tìm được min của C
23 tháng 5 2016
\(a+b+c=1\)
\(P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\)
LD
0
25 tháng 3 2020
\(\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{x+y}\right]^2}{2}\)
\(=8\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=1/2
25 tháng 3 2020
Có vẻ kết quả bị sai Huy ơi.
Diệp thay kết quả cuối cùng 8 ------------> 18 nhé!
\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+9+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2+9-18\)
\(P\ge2\sqrt{9\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2}+2\sqrt{9\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2}-18\)
\(P\ge12x+12y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{y}-18\)
\(P\ge6\left(4x+\dfrac{1}{x}\right)+6\left(4y+\dfrac{1}{y}\right)-12\left(x+y\right)-18\)
\(P\ge6.2\sqrt{\dfrac{4x}{x}}+6.2\sqrt{\dfrac{4y}{y}}-12.1-18=18\)
\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)