Question

[Phạm Kim Oanh]

Cho  hai số nguyên dương  \(x;y\)   thỏa mãn điều điện \(\dfrac{x^2+x+1}{x.y+1}\)  là số nguyên dương.  
 Tính giá trị của    \(P=y-x=?\) 
P/s:  Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán, gợi ý giúp đỡ em tham khảo với ạ!
em cám ơn nhiều lắm ạ!

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Với \(y=1\Rightarrow\dfrac{x^2+x+1}{x+1}\in Z\Rightarrow\dfrac{1}{x+1}\in Z\Rightarrow\) ko tồn tại x nguyên dương thỏa mãn (loại)

Với \(y>1\):

Đặt \(\dfrac{x^2+x+1}{xy+1}=k\Rightarrow x^2-\left(ky-1\right)x+1-k=0\)

\(\Delta=\left(ky-1\right)^2+4\left(k-1\right)\) là số chính phương

Ta có: \(k\ge1\Rightarrow\left(ky-1\right)^2+4\left(k-1\right)\le\left(ky-1\right)^2\)

Đồng thời \(y>1\Rightarrow y\ge2\Rightarrow2ky\ge4k>3\)

\(\Rightarrow\left(ky-1\right)^2+4\left(k-1\right)=\left(ky-2\right)^2+\left(2ky-3\right)+4\left(k-1\right)>\left(ky-2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(ky-2\right)^2< \left(ky-1\right)^2+4\left(k-1\right)\le\left(ky-1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(ky-1\right)^2+4\left(k-1\right)=\left(ky-1\right)^2\)

\(\Rightarrow k=1\Rightarrow\dfrac{x^2+x+1}{xy+1}=1\)

\(\Rightarrow x^2+x=xy\Rightarrow y=x+1\)

\(\Rightarrow y-x=1\)