\(X+Y+Z=3\)\(và\) \(X^4+Y^4+Z^4=3XYZ\)
Tính: M=\(X^{2013}+Y^{2014}+Z^{2015}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PN
6 tháng 12 2015
Ta có:
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
nên \(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right).z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2-3xy\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2xz+x^2\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow^{x+y+z=0}_{x=y=z}\)
Do đó:
\(M=\left(2-\frac{x}{y}\right)^{2013}+\left(3-\frac{2x}{z}\right)^{2014}+\left(4-\frac{3z}{x}\right)^{2015}\)
\(=\left(2-\frac{y}{y}\right)^{2013}+\left(3-\frac{2z}{z}\right)^{2014}+\left(4-\frac{3x}{x}\right)^{2015}\)
\(=\left(2-1\right)^{2013}+\left(3-2\right)^{2014}+\left(4-3\right)^{2015}\)
\(M=1^{2013}+1^{2014}+1^{2015}=1+1+1=3\)
----------------------------------------------------
T
28 tháng 11 2019
Biến đổi tương đương giả thiết: \(\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\) (xét hiệu 2 vế, cái đẳng thức này quen thuộc nên bạn tự biến đổi)
Do x, y, z dương nên x + y + z > 0. Do đó để đẳng thức trong giả thiết xảy ra thì \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\). Thay y, z bởi x vào M ta được M = 3.
Mình nêu hướng làm thôi!
1 tháng 9 2019
Đặt \(\sqrt{x-2013}=a\left(a>0\right)\)
\(\sqrt{y-2014}=b\left(b>0\right)\)
\(\sqrt{z-2015}=c\left(c>0\right)\)
Có \(\frac{a-1}{a^2}+\frac{b-1}{b^2}+\frac{c-1}{c^2}=\frac{3}{4}\)
<=> \(\frac{a-1}{a^2}-\frac{1}{4}+\frac{b-1}{b^2}-\frac{1}{4}+\frac{c-1}{c^2}-\frac{1}{4}=0\)
<=> \(\frac{4a-4-a^2}{4.a^2}+\frac{4b-4-b^2}{4b^2}+\frac{4c-4+c^2}{4c^2}=0\)
<=>\(\frac{-\left(a^2-4a+4\right)}{4a^2}-\frac{b^2-4b+4}{4b^2}-\frac{c^2-4c+4}{4c^2}=0\)
<=> \(\frac{\left(a-2\right)^2}{4a^2}+\frac{\left(b-2\right)^2}{4b^2}+\frac{\left(c-2\right)^2}{4c^2}=0\).
Có \(\frac{\left(a-2\right)^2}{4a^2}\ge0\forall a>0\)
\(\frac{\left(b-2\right)^2}{4b^2}\ge0\forall b>0\)
\(\frac{\left(c-2\right)^2}{4c^2}\ge0\forall c>0\)
=> \(\frac{\left(a-2\right)^2}{4a^2}+\frac{\left(b-2\right)^2}{4b^2}+\frac{\left(c-2\right)^2}{4c^2}\ge0\) với moi a,b,c >0
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a-2=0\\b-2=0\\c-2=0\end{matrix}\right.\) <=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\\c=2\end{matrix}\right.\)<=> \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2013}=2\\\sqrt{y-2014}=2\\\sqrt{z-2015}=2\end{matrix}\right.\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x-2013=4\\y-2014=4\\z-2015=4\end{matrix}\right.\) <=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=2017\\y=2018\\z=2019\end{matrix}\right.\)(t/m)
Vậy \(\left(x,y,z\right)\in\left\{\left(2017,2018,2019\right)\right\}\)
NT
1
17 tháng 12 2017
Ta có : \(\dfrac{x}{2013}=\dfrac{y}{2014}=\dfrac{z}{2015}\)
Suy ra \(\dfrac{x}{2013}=\dfrac{y}{2014}=\dfrac{z}{2015}=\dfrac{x-y}{2013-2014}=\dfrac{x-y}{-1}\)
28 tháng 2 2021
Theo BĐT Cosi ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4+y^4}{2}\ge\sqrt{x^4\cdot y^4}=x^2y^2\\\frac{y^4+z^4}{2}\ge\sqrt{y^4\cdot z^4}=y^2z^2\\\frac{z^4+x^4}{2}\ge\sqrt{z^4\cdot x^4}=x^2z^2\end{cases}\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\)
chứng minh tương tự: \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy^2z+xyz^2+x^2yz\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge3xyz\)(do x+y+z=3)
Do đó: \(x^4+y^4+z^4\ge3xyz\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^4=y^4;y^4=z^4;z^4=x^4\\x^2y^2=y^2z^2;y^2z^2=z^2x^2;z^2x^2=x^2y^2\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z}\)(1)
mà x+y+z=3 (2)
Từ (1) và (2) => 3x=3 => x=1 => y=z=1
=> \(x^{2018}+y^{2019}+x^{2020}=1+1+1=3\)
3 tháng 11 2018
\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)
\(2.\left(x^2+y^2+z^2\right)=2.\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow2.\left(x^2+y^2+z^2\right)-2xy-2yz-2zx=0\)
\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)=0\)
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Ta có: \(VT\ge0\forall x;y;z\)( tự c/m. nếu b ko c/m được thì bảo mình )
Mà \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}\Leftrightarrow}}\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z}\)
Có \(x^{2014}+y^{2014}+z^{2014}=3\)
\(\Rightarrow3.x^{2014}=3\)
\(\Rightarrow x^{2014}=1\)
\(\Rightarrow x=1\)
\(\Rightarrow x=y=z=1\)
Có: \(P=x^{25}+y^4+z^{2015}\)
\(\Rightarrow P=1^{25}+1^4+1^{2015}\)
\(P=1+1+1\)
\(P=3\)
Vậy \(P=3\)
Tham khảo nhé~
S
3 tháng 11 2018
Ta có: x2+y2+z2=xy+yz+zx
<=>2x2+2y2+2z2=2xy+2yz+2zx
<=>2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx=0
<=>(x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2zx+x2)=0
<=>(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=0
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{cases}\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0}\)
=>\(\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}\Rightarrow x=y=z}\)
=>x2014=y2014=z2014
Lại có: x2014+y2014+z2014 = 3
=>3x2014 = 3 => x2014 = 1 => \(x=\pm1\)
=>\(x=y=z=\pm1\)
Thay x,y,z vào P rồi tính
4 tháng 10 2016
Nếu \(\frac{x}{2013}=\frac{y}{2014}=\frac{z}{2015}\Rightarrow x=y=z=0\)
Vậy \(T=\frac{\left(x-z\right)^2}{\left(x-y\right)^2.\left(y-z\right)}=\frac{0^2}{0^2.0}\) mà phân số được viết dưới dạng \(\frac{a}{b}\) với a thuộc Z và b khác 0
\(\Rightarrow\)T không có giá trị thỏa mãn