Question

[Le Thi Khanh Huyen]

Đây là một số câu hỏi ở cuộc thi Toán Hà Nội mở rộng. Cách giải qua loa quá mình không hiểu. Các bạn giúp mình.

Câu 1 : Cho \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(\hept{\begin{cases}\cdot\left|x\right|\le1\Leftrightarrow\left|f\left(x\right)\right|\le1\\\cdot\left|x\right|\ge2\Leftrightarrow\left|f\left(x\right)\right|\ge7\end{cases}}\)

Tìm a ; b ; c.

Câu 2 : Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn \(abc=1\)

Chứng minh rằng \(\frac{a-1}{c}+\frac{c-1}{b}+\frac{b-1}{a}\ge0\)

Answer 1

[Ngọc]

Câu 2: Ta có: a , b ,c là các số thực dương ( bài cho )

=> Tồn tại 3 số thực dương x , y, z thỏa mãn : \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{x}{z}\)

=> \(\frac{a-1}{c}+\frac{c-1}{b}+\frac{b-1}{a}=\frac{x^3}{xyz}+\frac{y^3}{xyz}+\frac{z^3}{xyz}=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\)

<=>\(\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\ge0=\frac{x^2y+y^2z+z^2x}{xyz}\)( Bước này tách 0 ra cho cùng mẫu )

<=> \(x^3+y^3+z^3\ge x^2y+y^2z+z^2x\)

Áp dụng BĐT TB cộng và TB nhân => \(x^3+y^3+z^3\ge3x^2y\)

Làm 2 BĐT tương tự rồi cộng vào => Đpcm 

Answer 2

[Lê Nguyên Hạo]

câu hỏi hay, éo biết làm =)