cho a,b,c thõa mãn a^2+b^2+c^2 =1 .chứng minh : a+b+c+ab+ac+bc<=1+√3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HP
11 tháng 1 2016
ab-ac+bc-c^2=-1
<=>a.(b-c)+c(b-c)=-1
<=>(b-c)(a+c)=-1
=>trong 2 thừa số b-c ;a+c 1 thừa số bằng 1 và thừa số kia bằng =-1
hay chúng đối nhau
=>b-c=-(a+c)=-a-c
=>b=-a(cùng bớt đi -c)
=>a và b là 2 số đối nhau(đpcm)
11 tháng 1 2016
Ta có : ab - ac + bc - c mũ 2 = -1
(ab-ac)+( bc - c mũ 2)= -1
=> a(b - c)+c ( b - c )= -1
=> ( b - c ) . ( a +c )= -1
Vì a;b;c là các số nguyên nên a+c =1;b-c=-1hay a+c=-1;b-c=1
=> a + b = 0 hay a và b là 2 số đối nhau !
Tích cho mình nhé !!!
7 tháng 3 2020
Ta có:\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)
\(\iff\)\(\frac{abc}{ac+bc}=\frac{abc}{ab+ac}=\frac{abc}{bc+ba}\)
\(\iff\) \(ac+bc=ab+ac=bc+ba\)
+)\(ac+bc=ab+ac\)
\(\implies\)\(bc=ab\)
\(\implies\) \(c=a\left(1\right)\)
+)\(ab+ac=bc+ba\)
\(\implies\) \(ac=bc\)
\(\implies\) \(a=b\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\)
\(\implies\) \(a=b=c\)
\(\implies\) \(M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{aa+bb+cc}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)
Vậy \(M=1\)
LP
1
9 tháng 11 2016
Đặt \(T=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ac}\) (*)
Ta có: \(abc=1\Rightarrow c=\frac{1}{ab}\).Thay vào (*) ta có:
\(T=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+\frac{1}{a}}+\frac{1}{1+\frac{1}{ab}+\frac{1}{b}}\)
\(=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{\frac{a+ab+1}{a}}+\frac{1}{\frac{ab+1+a}{ab}}\)
\(=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{a}{a+ab+1}+\frac{ab}{ab+1+a}\)
\(=\frac{1+a+ab}{1+a+ab}=1=VP\) (Đpcm)
PM
0
Ta có:\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{cases}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow1\ge ab+bc+ca}\)(1)
Lại có:\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\le1+2=3\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(a+b+c+ab+bc+ca\le1+\sqrt{3}\)