CMR : sin A / 2 <= a / 2 căn của bc
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
5 tháng 12 2019
Ta có: a + b + c = 2 nên \(2c+ab=c\left(a+b+c\right)+ab=ac+bc+c^2+ab\)
\(=\left(ca+c^2\right)+\left(bc+ab\right)=c\left(a+c\right)+b\left(a+c\right)\)\(=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm:
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge2\sqrt{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\)(Vì a,b,c thực dương)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2c+ab}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\)(cmt)
\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ab}{a+c}\right)\)(nhân 2 vế cho ab thực dương) (1)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow\frac{1}{b+c}=\frac{1}{c+a}\Leftrightarrow b+c=c+a\Leftrightarrow a=b\))
Tương tự ta có: \(\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{a+c}\right)\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow b=c\)) (2)
\(\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{b+a}\right)\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=c\)) (3)
Cộng các BĐT (1) , (2) , (3), ta được:
\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}+\frac{bc}{b+a}+\frac{cb}{c+a}+\frac{ac}{b+a}+\frac{ac}{c+b}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{b\left(c+a\right)}{c+a}+\frac{a\left(c+b\right)}{c+b}+\frac{c\left(b+a\right)}{b+a}\right)\)
\(\le\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=1\)
Vậy \(P=\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}\)\(+\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\)\(+\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le1\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}\))
C
5 tháng 12 2019
Ta có:
\(\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}=\frac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}\)
Tương tự:
\(\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\)
\(\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{b+a}\)
Khi đó:
\(P\le\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{c+b}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{b+a}\)
\(=\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{c\left(a+b\right)}{b+a}\)
\(=a+b+c=2\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
LV
18 tháng 7 2017
A B C D E x
Qui ước: Ax là p.g của A , đường vuông góc BD,CE
Ta có: \(\sin\frac{A}{2}=\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}=\frac{BD+CE}{AB+CA}\)(t/c dãy ts = nhau)
dễ dàng chứng minh \(BD+CE\le BC\)nên ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi tam giác ABC cân ở A
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 7 2017
Lời giải:
Theo hệ thức lượng trong tam giác:\(\sin ^2a=\frac{1-\cos 2a}{2}\)
Áp dụng vào bài toán và sử dụng định lý hàm cos:
\(\sin ^2\frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{2}=\frac{1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2}=\frac{a^2-(b-c)^2}{4bc}\)
Ta cần CM \(\frac{a^2-(b-c)^2}{4bc}\leq \left (\frac{a}{b+c}\right)^2\Leftrightarrow (ab+ac)^2-(b^2-c^2)^2\leq 4a^2bc\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+a^2c^2\leq 2a^2bc+(b^2-c^2)^2\)
\(\Leftrightarrow (b^2-c^2)^2-a^2(b-c)^2\geq 0\Leftrightarrow (b-c)^2[(b+c)^2-a^2]\geq 0\)
BĐT luôn đúng do với \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh tam giác thì \(b+c>a\leftrightarrow (b+c)^2>a^2\)
Vậy \(\sin ^2\frac{A}{2}\leq \left (\frac{a}{b+c}\right)^2\Leftrightarrow \sin \frac{A}{2}\leq \frac{a}{b+c}\) (đpcm)
Tương tự : \(\sin \frac{B}{2}\leq \frac{b}{a+c},\sin \frac{C}{2}\leq \frac{c}{a+b}\)
\(\Rightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\leq \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
Theo BĐT AM-GM: \((a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8abc\Rightarrow \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}\) (đpcm)
MT
2
15 tháng 7 2016
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : \(3=1.3=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3}\) (1)
Lại có: \(\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ac\end{cases}\) .Cộng các bất đẳng thức theo vế được: \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\le1\) (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta có điều phải chứng minh.
BT
4 tháng 8 2016
đặt AB=c, BC=a, AC=c.
để chứng minh bđt trên ta sẽ áp dụng công thức: \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.a.b.sinC=\frac{1}{2}.b.c.sinA=\frac{1}{2}.a.c.sinB\)
ta có: \(\frac{sinA}{sinB+sinC}+\frac{sinB}{sinA+sinC}+\frac{sinC}{sinA+sinB}\)
\(=\frac{a.b.c.sinA}{a.b.c.sinB+a.b.c.sinC}+\frac{a.b.c.sinB}{a.b.c.sinA+a.b.c.sinC}+\frac{a.b.c.sinC}{a.b.c.sinA+a.b.c.sinB}\)
;\(=\frac{2S_{\Delta ABC}.a}{2S_{\Delta ABC}.b+2S_{\Delta ABC}.c}+\frac{2S_{\Delta ABC}.b}{2.S_{\Delta ABC}.c+2.S_{\Delta ABC}.b}+\frac{2S_{\Delta ABC}.c}{2S_{\Delta ABC}.b+2S_{\Delta ABC}.a}\)
\(=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\).
Ta có: \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
nên \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1.\)
Ta sẽ chứng minh bđt phụ: \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\left(1\right)\)
Thật vậy: \(\left(1\right)\Leftrightarrow a^2< a\left(b+c\right)\Leftrightarrow a< b+c\)(đúng vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác).
tương tự: \(\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\).
suy ra: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\).
vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
26 tháng 9 2018
Ah chăc câu này ghi nhầm đề nên ghi lại câu kia đung không. Thôi xem câu trên đi
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 6 2020
Bài 2:
\(1+\tan ^2a=1+\frac{\sin ^2a}{\cos ^2a}=\frac{\cos ^2a+\sin ^2a}{\cos ^2a}=\frac{1}{\cos ^2a}\)
\(1+\cot ^2a=1+\frac{\cos ^2a}{\sin ^2a}=\frac{\sin ^2a+\cos ^2a}{\sin ^2a}=\frac{1}{\sin ^2a}\)
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 6 2020
1.
$0< a< 90^0\Rightarrow `1>\sin a, \cos a>0$
Do đó:
$\sin a-\tan a=\sin a-\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\sin a(\cos a-1)}{\cos a}<0$
$\Rightarrow \sin a< \tan a$
(đpcm)
$\cos a-\cot a=\cos a-\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{\cos a(\sin a-1)}{\sin a}<0$
$\Rightarrow \cos a< \cot a$ (đpcm)
Kẻ phân giác AD,BK vuông góc với AD
sin A/2=sinBAD
Xét tam giác AKB vuông tại K,có:
sinBAD=BK/AB (1)
xét tam giác BKD vuông tại K,có
BK<=BD thay vào (1):
sinBAD<=BD/AB(2)
Lại có:BD/CD=AB/AC
=>BD/(BD+CD)=AB/(AB+AC)
=>BD/BC=AB/(AB+AC)
=>BD=(AB*BC)/(AB+AC) thay vào (2)
sinBAD<=[(AB*BC)/(AB+AC)]/AB
= BC/(AB + AC)
=>đpcm
thôi , mình làm đc rồi bạn . dù sao cũng tks nha