a+b/căn a x (3a+b)+căn b x (3b+a)>=1/2 với a,b là số dương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TV
0
KN
3 tháng 6 2020
Ta có: \(a^2-ab+3b^2+1=\left(a^2-2ab+b^2\right)+ab+\left(b^2+1\right)+b^2\)
\(=\left(a-b\right)^2+ab+\left(b^2+1\right)+b^2\ge ab+2b+b^2\)
\(=b\left(a+b+2\right)\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{b\left(a+b+2\right)}}\)(1)
Tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{c\left(b+c+2\right)}}\)(2); \(\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+3a^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{a\left(c+a+2\right)}}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3) và sử dụng AM - GM kết hợp liên tục BĐT \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\), ta được:
\(P\le\frac{1}{\sqrt{b\left(a+b+2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{c\left(b+c+2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{a\left(c+a+2\right)}}\)
\(=\Sigma\frac{2}{\sqrt{4b\left(a+b+2\right)}}\)\(\le\Sigma\left(\frac{1}{4b}+\frac{1}{a+b+2}\right)\)(AM - GM)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\text{}\Sigma\left(\frac{1}{a+b+2}\right)\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\text{}\Sigma\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}\right)+\frac{1}{2}\right]\)
\(\le\frac{3}{4}+\text{}\left[\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\text{}\Sigma\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]\)
\(=\frac{3}{4}+\text{}\left[\frac{3}{8}+\text{}\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]\le\frac{3}{4}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
KN
3 tháng 6 2020
Dòng thứ 10 sửa lại cho mình là \(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\Sigma\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2}\right)\right]\)
Do olm có lỗi là mỗi lần bấm dấu ngoặc là số nó tự động nhảy ra ngoài
PT
1
18 tháng 6 2022
a: \(\sqrt{x}=\dfrac{1}{3}\) nên x=1/9
\(\sqrt{y}=1\) nên y=1
\(D=3\cdot\dfrac{1}{81}-2\cdot\dfrac{1}{9}\cdot1+1^2=\dfrac{1}{27}-\dfrac{2}{9}+1=\dfrac{22}{27}\)
b: a/b=1/3
nên b=3a
\(E=\dfrac{3a+2\cdot3a}{4a-3\cdot3a}=\dfrac{9a}{-5a}=\dfrac{-9}{5}\)
AK
1
19 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}=\sqrt{a}\sqrt{3a+b}+\sqrt{b}\sqrt{3b+a}\)
\(\le\sqrt{\left(a+b\right)\left(3a+b+3b+a\right)}=2\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\dfrac{a+b}{2\left(a+b\right)}=\dfrac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)
4 tháng 6 2017
- có : \(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)^2=1\\\left(a-b\right)^2\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+2ab+b^2=1\\a^2-2ab+b^2\ge0\end{cases}\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}}\) nên : \(P=a^2+b^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{2}+\frac{4}{a+b}=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}\)\(P_{min}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
TN
4 tháng 6 2017
Bài 1: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Lại có BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=4\left(a+b=1\right)\)
Cộng theo vế 2 BĐT trên có:
\(P=a^2+b^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bài 2: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT^2=\left(x-1\right)+\left(3-x\right)+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)
\(=2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)
\(\le2+\left(x-1\right)+\left(3-x\right)=4\)
\(\Rightarrow VT^2\le4\Rightarrow VT\le2\left(1\right)\). Lại có:
\(VP=x^2-4x+4+2=\left(x-2\right)^2+2\ge2\left(2\right)\)
Từ (1);(2) xảy ra khi
\(VT=VP=2\Rightarrow\left(x-2\right)^2+2=2\Rightarrow\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x=2\) (thỏa)
Vậy x=2 là nghiệm của pt
27 tháng 12 2017
a)
\(7\sqrt{12}+\frac{1}{3}\sqrt{27}-\sqrt{75}\)
\(=14\sqrt{3}+\sqrt{3}-5\sqrt{3}\)
\(=10\sqrt{3}\)
b)
\(\left(2\sqrt{20}+\sqrt{125}-3\sqrt{80}\right):5\)
\(=\left(4\sqrt{5}+5\sqrt{5}-12\sqrt{5}\right):5\)
\(=-3\sqrt{5}:5\)
\(=\frac{-3\sqrt{5}}{5}\)
c)
\(3\sqrt{12a}-5\sqrt{3a}+\sqrt{48a}\)
\(=6\sqrt{3a}-5\sqrt{3a}+4\sqrt{3a}\)
\(=5\sqrt{3a}\)
X
27 tháng 8 2019
Bài 1:
a. \(\sqrt{\frac{25m^2}{49}}=\frac{\sqrt{25m^2}}{\sqrt{49}}=\frac{5m}{7}\)
b. \(\frac{\sqrt{192k}}{\sqrt{3k}}=\sqrt{\frac{192k}{3k}}=\sqrt{64}=8\)
Bài 2:
a. \(\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^2+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}+1\)
b. \(\frac{\sqrt{a}-a}{\sqrt{a}-1}=\frac{\sqrt{a}-\left(\sqrt{a}\right)^2}{\sqrt{a}-1}=\frac{\sqrt{a}\left(1-\sqrt{a}\right)}{\sqrt{a}-1}=\frac{-\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}=-\sqrt{a}\)
c. \(\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^2-\left(\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
