Chứng minh phương trình: \(m\left(x-1\right)^3\left(x^2-4\right)+x^4-3=0\) có ít nhất 2 nghiệm với mọi m
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BC
1
KV
1 tháng 1
Đặt f(x) = m(1 - x)³.(x² - 4) + x⁴ - 3
⇒ f(x) liên tục trên R
Ta có:
f(-2) = m.(1 - 2)³.[(-2)² - 4] + (-2)⁴ - 3
= 0 + 16 - 3
= 15
f(1) = m.(1 - 1)³.(1² - 4) + 1⁴ - 3
= 0 + 1 - 3
= -2
f(2) = m.(1 - 2)³.(2² - 4) + 2⁴ - 3
= 0 + 16 - 3
= 15
Do f(-2).f(1) = 15.(-2) = -30 < 0
Và f(1).f(2) = -2.15 < 0
⇒ Phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm x₁ và x₂ với mọi m, trong đó x₁ ∈ (-2; 1); x₂ ∈ (1; 2)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2022
Đặt \(f\left(x\right)=x^4-\left(3m-2\right)x^3+mx-1\)
Hiển nhiên \(f\left(x\right)\) liên tục và xác định trên R
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^4-\left(3m-2\right)x^3+mx+1\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(a>0\) đủ lớn sao cho \(f\left(a\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(a\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;a\right)\) hay \(\left(0;+\infty\right)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4-\left(3m-2\right)x^3+mx-1\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(b< 0\) sao cho \(f\left(b\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(0\right),f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;0\right)\)
Vậy phương trình luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 3 2022
Đặt \(f\left(x\right)=x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\)
Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\right)\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^5\left(1+\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{m^2+2}{x^4}-\dfrac{1}{x^5}\right)=+\infty.1=+\infty\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại \(a>0\) sao cho \(f\left(a\right)>0\Rightarrow f\left(0\right).f\left(a\right)< 0\Rightarrow\) pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\)
\(f\left(-1\right)=m^2+1>0;\forall m\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow\) pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;0\right)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^5\left(1+\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{m^2+2}{x^4}-\dfrac{1}{x^5}\right)=-\infty.1=-\infty\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại \(b< 0\) sao cho \(f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(b\right).f\left(-1\right)< 0\Rightarrow\) pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-1\right)\)
Vậy pt đã cho luôn có ít nhất 3 nghiệm thực
KB
13 tháng 4 2022
Đặt \(f\left(x\right)=m\left(x-1\right)^{2022}\left(x^2-9\right)+x^2-2\) liên tục trên R
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục trên [-3;1] và [1;3]
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=-1\\f\left(3\right)=7\\f\left(-3\right)=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(1\right)f\left(-3\right)< 0;f\left(3\right).f\left(1\right)< 0\)
\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất 1 no x \(\in\left(-3;1\right)\) và 1 no x \(\in\) ( 1 ; 3 ) để f(x) = 0 \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) p/t có ít nhất 2 no \(\forall m\) (đpcm)
Xét hàm \(f\left(x\right)=m\left(x-1\right)^3\left(x^2-4\right)+x^4-3\)
Hàm \(f\left(x\right)\) là hàm liên tục trên R
\(f\left(1\right)=-2< 0\)
\(f\left(-2\right)=13>0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-2;1\right)\)
\(f\left(2\right)=13>0\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(1;2\right)\)
\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m