Question

[Nguyen Thi Thuy Hang]

Cho 0<x>1. CM:

2/(1-x) +1/x lớn hơn hoặc bằng 3+2. căn 2

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Bạn sửa lại điều kiện thành: 0<x<1 nhé :)

Đặt \(A=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\)

Áp dụng dụng bđt Bunhiacopxki, ta có : 

\(A=\left[\left(\sqrt{\frac{2}{1-x}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{1-x}\right)^2+\left(\sqrt{x}\right)^2\right]\ge\left[\sqrt{\frac{2}{1-x}.\left(1-x\right)}+\sqrt{\frac{1}{x}.x}\right]^2\)

\(\Rightarrow A\ge\left(\sqrt{2}+1\right)^2=3+2\sqrt{2}\)

Bài này mình có áp dụng một chút phần căn thức lớp 9 :

• Nếu \(x\ge0\)  thì \(x=\left(\sqrt{x}\right)^2\)
• \(\sqrt{x}.\sqrt{y}=\sqrt{xy}\)với \(x,y\ge0\)

Answer 2

[Vũ Trọng Nghĩa]

điều kiền phải là : 0 < x < 1 . đặt  \(P=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}.\)

ta có : \(\frac{2}{1-x}=\frac{2-2x+2x}{1-x}=2+\frac{2x}{1-x}.\);    \(\frac{1}{x}=\frac{x+1-x}{x}=1+\frac{1-x}{x}.\)

\(P=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}=3+\frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x}.\left(1\right).\)

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương \(\frac{2x}{1-x}\)và \(\frac{1-x}{x}.\)ta được : \(\frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x}\ge2\sqrt{\frac{2x.\left(1-x\right)}{\left(1-x\right).x}}=2\sqrt{2}.\)

Thay vào (1) ta được : \(P\ge3+2\sqrt{2}.\)dấu " =" xẩy ra khi  \(x=\sqrt{2}-1\)