Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng HA + HB + HC < 2/3 (AB + AC + BC).
=
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 7 2023
a) Ta có: HA = 2RcosA HB = 2RcosB HC = 2RcosC AB = 2RsinC AC = 2RsinB Vậy ta cần chứng minh: 2RcosA + 2RcosB + 2RcosC < 2RsinC + 2RsinB Chia cả 2 vế cho 2R, ta có: cosA + cosB + cosC < sinC + sinB Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: sinC + sinB > sin(A + B) = sinCOSA + cosCSINA = cosA + cosB Vậy ta có: cosA + cosB + cosC < sinC + sinB Do đó, ta có HA + HB + HC < AB + AC. b) Ta có: AB + BC + CA = 2R(sinA + sinB + sinC) = 2R(sinA + sinB + sin(A + B)) = 2R(2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B)) = 4Rsin(A + B/2)cos(A - B/2) + 2Rsin(A + B) Vậy ta cần chứng minh: 2RcosA + 2RcosB + 2RcosC < 2332 (4Rsin(A + B/2)cos(A - B/2) + 2Rsin(A + B)) Chia cả 2 vế cho 2R, ta có: cosA + cosB + cosC < 1166(2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B)) Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: sin(A + B) > sinC = sin(A + B/2 + B/2) = sin(A + B/2)cos(B/2) + cos(A + B/2)sin(B/2) Vậy ta có: 2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B) < 2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B/2)cos(B/2) + cos(A + B/2)sin(B/2) = sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2)) + cos(A + B/2)sin(B/2) = sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2)) + sin(B/2)cos(A + B/2) = sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2) + cos(A + B/2)) Vậy ta có: cosA + cosB + cosC < 1166(2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B)) < 1166(sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2) + cos(A + B/2))) Do đó, ta có HA + HB + HC < 2332(AB + BC + CA).
2 tháng 8 2019
a) Qua H kẻ HG//AB cắt AC tại G; kẻ HI//AC cắt AB tại I như hình vẽ.
=> HI vuông BH ; CH vuông HG
và AIHG là hình bình hành
Xét tam giác BHI vuông tại H => BH<BI ( mối quan hệ cạnh góc vuông và cạnh huyền) (1)
Xét tam giác CHG vuông tại H => CH<CG
=> CH+BH + AH< BI+CG +AH
Ta lại có AH <AI+IH ( bất đẳng thức trong tam giác AIH)
mà IH=AG ( AIHG là hình bình hành theo cách vẽ )
=> AH < AI+AG
Vậy CH+BH+AH<BI+CG+AI+AG=AB+AC
b) Chứng minh AB+AC+BC>3/2 (HA+HB+HC)
Chứng minh tương tự như câu a.
Ta có: \(AB+AC>HA+HB+HC\)
\(BC+AC>HA+HB+HC\)
\(AB+BC>HA+HB+HC\)
Cộng theo vế ta có:
\(2AB+2AC+2BC>3HA+3HB+3HC\)
=> \(2\left(AB+AC+BC\right)>3\left(HA+HB+HC\right)\)
=> \(AB+AC+BC>\frac{3}{2}\left(HA+HB+HC\right)\)
TT
1
2 tháng 8 2019
Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!
HP
1
2 tháng 8 2019
Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!
2 tháng 8 2019
Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!
JA
2 tháng 5 2016
Gọi các đường cao của tam giác nhọn ABC là BD và CE
Từ H kẻ HS//AC,HR//AB (S thuộc AB,R thuộc AC)
HA<AR+RH (Bất đẳng thức tam giác)
Hay HA<AR+AS (1)
AB//HR, AB vuông góc với CE => HR vuông góc với CE
=> Tam giác HRC vuông tại H => RC>HC (RC là cạnh huyền) (2)
HS//AC, AC vuông góc HC => SH vuông góc HD
=> Tam giác SHE vuông tại H => BS>BH (BH là cạnh huyền) (3)
Từ (1);(2);(3) suy ra HA+HC+HB<AR+AS+RC+BS
Hay HA+HC+HB< (AR+RC)+(AS+BS)
HA+HC+HB<AC+AB
Tương tự ta cũng có: HA+HB+HC<AC+AB
HA+HB+HC<AB+BC
HA+HB+HC<BC+AC
Cộng 2 vế ta được: 3(HA+HB+HC)<2(AC+AB+BC)
HA+HB+HC<2/3(AC+AB+BC) (ĐPCM)
4 tháng 4 2017
Qua H kẻ HF // AB (F thuộc AC), HE // AC (E thuộc AB)
H là trực tâm ▲ ABC => BH ┴ AC mà HE // AC => BH ┴ HE (từ ┴ đến //)
=> ▲ BHE vuông tại H => BE > BH (t/c ▲ vuông) (1)
Chứng minh tương tự, ta được CF > CH (2)
HE // AF, HF // AE => AEHF là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết) => AE = HF (2 cạnh đối) (3)
Xét ▲ AHF có AF + HF > AH (bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (3) và (4) => AE + AF > AH (5)
Từ (1), (2) và (5) => BE + CF + AE + AF > AH + BH + CH => AB + AC > AH + BH + CH (6)
Chứng minh tương tự, ta được:
* AB + BC > AH + BH + CH (7)
* AC + BC > AH + BH + CH (8)
Từ (6), (7) và (8) => 2(AB + AC + BC) > 3(AH + BH + CH) => HA + HB + HC < 2/3(AB + AC + BC)
26 tháng 2 2018
Kẻ HD//AB,HE//ACHD//AB,HE//AC
\(\Rightarrow\)AD=HE;AE=AH
Theo BĐT trong tam giác :
AH<AE+HE=AE+ADAH<AE+HE=AE+AD
ΔHDC vuông tại H :HC<DC
ΔBHE vuông tại H : HB<BE
\(\Rightarrow\)HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC
Chứng minh tương tự ta được:
HA+HB+HC<AB+BCHA+HB+HC<AB+BC
HA+HB+HC<AC+BCHA+HB+HC<AC+BC
\(\Rightarrow\) 3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)
\(\Rightarrow\)HA + HB + HC < \(\frac{2}{3}\)(AB+AC+BC)(ĐPCM)
-> HA+HB+HC<23(AB+AC+BC)
N
20 tháng 6 2020
Kẻ HD//AB ,HE//AC
−>AD=HE; AE=AH
Theo BĐT trong tam giác :
AH<AE+HE=AE+AD
xét ΔHDC vuông tại H :HC<DC
ΔBHE vuông tại H : HB<BE
−>HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC
chứng minh tương tự:
HA+HB+HC<AB+BC
HA+HB+HC<AC+BC
K/h có :
3 (HA+HB+HC) < 2 (AB+AC+BC)
-> HA+ HB + HC< \(\frac{2}{3}\)(AB+AC+BC)