Cho xy+yz+xz=4.Cmr x^4+y^4+z^4>=16/3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LC
1
9 tháng 6 2016
a)
\(x^4-y^4=\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right).\)
b)
\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=x^3+x^2y+x^2z+xy^2+y^3+y^2z+\)
\(+xz^2+yz^2+z^3-x^2y-xy^2-xyz-xyz-y^2z-yz^2-x^2z-xyz-xz^2=\)
\(=x^3+y^3+z^3-3xyz\)
H
0
CF
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 4 2021
Cần thêm điều kiện x;y;z đôi một phân biệt và để dấu "=" xảy ra khi thì x;y;z không âm chứ không phải dương
Không mất tính tổng quát, giả sử \(z=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow xy+yz+zx\ge xy\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{xy+yz+zx}\le\dfrac{4}{xy}\)
Đồng thời:
\(\left(z-x\right)^2=x^2+z\left(z-2x\right)\le x^2\Rightarrow\dfrac{1}{\left(z-x\right)^2}\ge\dfrac{1}{x^2}\)
\(\left(y-z\right)^2=y^2+z\left(z-2y\right)\le y^2\ge\dfrac{1}{\left(y-z\right)^2}\ge\dfrac{1}{y^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge2\) (hiển nhiên đúng theo AM-GM)
VV
1
11 tháng 5 2020
Ta có x+y+z=6 => x+y=6-z
xy+yz+zx=9 => xy+z(x+y)=9
=> xy=9-z(x+y)=9-z(6-z)
Ta cũng có: (x+y)2 >= 4xy
<=> (6-z)2 >=4[9-z(6-z)]
<=> 36-12z+z2 >= 4[9-6z+z2]
<=> 36-12z+z2 >= 36-24z+4z2
<=> 3z2-12z =<0
<=> 0 =< x =< 4
Vai trò của x;y;z như nhau nên ta có: 0 =< x,y,z =<4
Từ đó ta có: x-1 =<3
-2 =< y-2 =< 2 => (y-2)2 =<4
-3 =< z-3 =<1 => (z-3)4 =<81
Khi đó (x-1)+(y-2)2+(z-3)4 =< 88
Dấu "=" xảy ra <=> \(\orbr{\begin{cases}x=0;y=0;z=0\\x=4;y=4;z=0\end{cases}}\)(ktm điều kiện bài toán)
Vậy (x-1)+(y-2)2+(z-3)4<88
DL
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 3 2018
Lời giải:
Phải thêm điều kiện \(x,y,z>0\) nữa em nhé. Nếu không bài toán sai ngay với \(x=y=z=-1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\text{VT}=\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y^4}{z+3x}+\frac{z^4}{x+3y}=\frac{(x^2)^2}{y+3z}+\frac{(y^2)^2}{z+3x}+\frac{(z^2)^2}{x+3y}\)
\(\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{y+3z+z+3x+x+3y}=\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{4(x+y+z)}(1)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky: \((x^2+y^2+z^2)(1+1+1)\geq (x+y+z)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}\geq x+y+z(2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{4\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}=\frac{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}}{4\sqrt{3}}\)
Theo hệ quả của BĐT AM-GM \(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\geq 3\)
Suy ra \(\text{VT}\geq \frac{\sqrt{3^3}}{4\sqrt{3}}=\frac{3}{4}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)
NN
0
HT
4
TN
14 tháng 1 2016
TH1:x,y,z=0
TH2:x=2\(\frac{3}{10}\)
y=3\(\frac{5}{6}\)
z=11\(\frac{1}{2}\)
NM
0
TN
19 tháng 5 2018
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT=\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-xz}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)
\(\ge\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{xz}}{4-xz}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\)
Cần chứng minh \(\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{xz}}{4-xz}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{\sqrt{xz}}{xz\left(4-xz\right)}+\frac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\)
Cauchy-Schwarz: \(\left(x+y+z\right)^2\ge\left(1+1+1\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
Đặt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{xz}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c\left(4-c^2\right)}\ge1\left(\odot\right)\)
Ta có BĐT phụ: \(\dfrac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}\le-\dfrac{1}{9}a+\dfrac{4}{9}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-1\right)^2\left(a^2-2a-9\right)}{9a\left(a-2\right)\left(a+2\right)}\le0\forall0< a\le1\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế
\(VT_{\left(\odot\right)}\ge\dfrac{-\left(a+b+c\right)}{9}+\dfrac{4}{9}\cdot3\ge\dfrac{-3}{9}+\dfrac{12}{9}=1=VP_{\left(\odot\right)}\)
Dấu "=" <=> x=y=z=1