Cho tam giác ABC. M,N,P lần lượt là trung điểm của AB, AC,BC. CMR: SMNP=1/4 SABC.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 2 2020
a, Đặt: \(\hept{\begin{cases}S_1=S_{PMA}\\S_2=S_{NMB}\\S_3=S_{PNC}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{S_1}{S}=\frac{AM.AP}{AB.AC}\)
Và: \(\frac{S_2}{S}=\frac{BM.BN}{AB.CB}\)
Và: \(\frac{S_3}{S}=\frac{CP.CN}{AC.BC}\)
Ta có: \(\frac{AM}{MB}=\frac{k}{1}\Leftrightarrow\frac{AM}{AM+MB}=\frac{k}{k+1}\Leftrightarrow\frac{AM}{AB}=\frac{k}{k+1}\)
\(\frac{CP}{PA}=\frac{k}{1}\Leftrightarrow\frac{AP}{CP}=\frac{1}{k}\Leftrightarrow\frac{AP}{AP+CP}=\frac{1}{k+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{AP}{AC}=\frac{1}{k+1}\Rightarrow\frac{S_1}{S}=\frac{AM}{AB}.\frac{AP}{AC}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{S_2}{S}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\) và \(\frac{S_3}{S}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)
\(\Rightarrow S_{MNP}=S-\left(S_1+S_2+S_3\right)=S-\frac{3k}{\left(k+1\right)^2}.S=S\left(1-\frac{3k}{\left(k+1\right)^2}\right)\)
b, \(S_{MNP}\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)lớn nhất.
Ta có: \(\left(k+1\right)^2\ge4k\Leftrightarrow\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow Max\left[\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\right]=\frac{1}{4}\)
Khi \(k=1\Leftrightarrow M,P,N\) là trung điểm của \(AB,BC,CA\) và \(Min_{S_{MNP}}=S\left[1-\frac{3.1}{\left(1+1\right)^2}\right]=\frac{S}{4}\)
(Cũng không chắc)
25 tháng 2 2022
Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB
N là trung điểm của AC
Do đó: MN là đường trung bình
=>MN//BC và MN=1/2BC
20 tháng 7 2016
a) Xét tam giác AND và tam giác CNB ta có:
NB = ND (Vì N là trung điểm của BD)
góc AND = góc CNB (đối đỉnh)
NA = NC (Vì N là trung điểm của AC)
=> tam giác AND = tam giác CNB (c-g-c)
b) Vì tam giác AND = tam giác CNB
=> AD = BC (2 cạnh tương ứng)
=> góc DAN = góc BCN (2 góc tương ứng)
mà góc DAN và góc BCN là 2 góc so le trong
suy ra AD // BC
c) chưa nghĩ ra
Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB
N là trung điểm của AC
Do đó: MN là đường trung bình
=>MN=BC/2
Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB
P là trung điểm của BC
Do đó: MP là đường trung bình
=>MP=AC/2
Xét ΔACB có
N là trung điểm của AC
P là trung điểm của BC
Do đó: NP là đường trung bình
=>NP=AB/2
Xét ΔMNP và ΔCBA có
MN/BC=NP/BA=MP/AC=1/2
Do đó: ΔMNP\(\sim\)ΔCBA
Suy ra: \(\dfrac{S_{MNP}}{S_{CBA}}=\left(\dfrac{MN}{CB}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)