Cho a,b thỏa mãn a+b=1
Chứng minh rằng: a) a^2 + b^2 >= 1/2
b) a^4 + b^4 >= 1/8
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NV
1
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 8 2021
\(abc=1\) nên tồn tại các số dương x;y;z sao cho \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{y}{x+2y}+\dfrac{z}{y+2z}+\dfrac{x}{z+2x}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2y}{x+2y}-1+\dfrac{2z}{y+2z}-1+\dfrac{2x}{z+2x}-1\le2-3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{x+2y}+\dfrac{y}{y+2z}+\dfrac{z}{z+2x}\ge1\)
Điều này đúng do:
\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz}+\dfrac{z^2}{z^2+2xz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1\)
T
1
17 tháng 7 2021
áp dụng BĐT Bunhiacopxky
\(=>\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=>3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge1^2\)
\(=>a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(đpcm\right)\)
dấu"=" xảy ra<=>\(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
R
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 8 2021
\(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}=\dfrac{a^2+b^2+2}{a^2b^2+a^2+b^2+1}=1-\dfrac{a^2b^2-1}{a^2b^2+a^2+b^2+1}\ge1-\dfrac{a^2b^2-1}{a^2b^2+2ab+1}=\dfrac{2}{ab+1}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\) hoặc \(ab=1\)
2 tháng 8 2021
\(< =>VT< =>\dfrac{a^2+b^2+2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}=\dfrac{a^2+b^2+2}{a^2+a^2b^2+b^2+1}\)
\(VT\ge VP\)(giả thiết)
\(< =>\dfrac{a^2+b^2+2}{a^2+a^2b^2+b^2+1}\ge\dfrac{2}{1+ab}\)
\(< =>a^2+b^2+2+a^3b+ab^3+2ab-2a^2-2b^2-2a^2b^2-2\ge0\)
\(< =>\left(a-b^{ }\right)^2\left(ab-1\right)\ge0\)(luôn đúng với mọi a,b là các số thực dương thỏa mãn \(ab\ge1\))
\(\)
HP
5 tháng 9 2021
Dấu BĐT bị ngược, sửa đề: \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).
Đặt \(b^2=x\left(x>0\right)\Rightarrow a+x=2ax\).
Khi đó ta cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\)
\(\le\dfrac{1}{2a^2x+2ax^2}+\dfrac{1}{2ax^2+2a^2x}\)
\(=\dfrac{2}{2ax\left(a+x\right)}\)
\(=\dfrac{1}{ax\left(a+x\right)}\)
\(=\dfrac{1}{2a^2x^2}\)
Ta thấy: \(a+x\ge2\sqrt{ax}\)
\(\Leftrightarrow2ax\ge2\sqrt{ax}\)
\(\Leftrightarrow ax-\sqrt{ax}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\left(\sqrt{ax}-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\ge1\)
\(\Rightarrow ax\ge1\)
Khi đó: \(\dfrac{1}{2a^2x^2}\le\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)
Hay \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 4 2021
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với 1
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+1\right)\ge\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\dfrac{2}{2\left(ab+1\right)\left(c+1\right)}=\dfrac{1}{\left(ab+1\right)\left(c+1\right)}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{c}+1\right)\left(c+1\right)}=\dfrac{c}{\left(c+1\right)^2}\)
Lại có:
\(\dfrac{1}{\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{a}{b}}+1.1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{b}{a}}+1\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(ab+1\right)\left(\dfrac{a}{b}+1\right)}+\dfrac{1}{\left(ab+1\right)\left(\dfrac{b}{a}+1\right)}=\dfrac{1}{ab+1}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{ab+1}+\dfrac{1}{\left(c+1\right)^2}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{c}+1}+\dfrac{1}{\left(c+1\right)^2}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{c}{c+1}+\dfrac{c+1}{\left(c+1\right)^2}=\dfrac{c\left(c+1\right)+c+1}{\left(c+1\right)^2}=\dfrac{\left(c+1\right)^2}{\left(c+1\right)^2}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 10 2021
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{y}{x};\dfrac{z}{y};\dfrac{x}{z}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{1}{\dfrac{y}{x}\left(\dfrac{z}{y}+1\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{z}{y}\left(\dfrac{x}{z}+1\right)}+\dfrac{1}{\dfrac{x}{z}\left(\dfrac{y}{x}+1\right)}\)
\(VT=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}=\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+yz}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{3}{2}\)
a)Ta cần c/m bất đẳng thức sau: \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
Ta có: \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{a^2+2ab+b^2}{2}\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a^2-a^2\right)+\left(2b^2-b^2\right)-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng ta có: \(a^2+b^2\ge\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\) (đpcm)
b) tương tự