K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

<=> A = (x+y) + ( 5/x + 5/y) +( 25/x + x)

Xét:

+) x+y >/ 10

+) 5/x + 5/y = 5(1/x+1/y) >/ 5.4/x+y = 2 <=> x=y

+) 25/x + x >/ 2. căn 25/x.x =10

=> A >/ 10+2+10 = 22 <=> (x;y)= (5;5).

 

NV
10 tháng 3 2021

\(A=\left(\dfrac{6x}{5}+\dfrac{30}{x}\right)+\left(\dfrac{y}{5}+\dfrac{5}{y}\right)+\dfrac{4}{5}\left(x+y\right)\)

\(A\ge2\sqrt{\dfrac{180x}{5x}}+2\sqrt{\dfrac{5y}{5y}}+\dfrac{4}{5}.10=22\)

\(A_{min}=22\) khi \(x=y=5\)

NV
23 tháng 8 2021

Cho ba số thực dương x;y;z thoả mãn \(5\left(x+y+z\right)^2\ge14\left(x^2+y^2+z^2\right)\) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nh... - Hoc24

6 tháng 12 2023

Ta thấy 
72
=
2
3
.
3
2
72=2 
3
 .3 
2
  nên a, b có dạng 
{

=
2

3


=
2

.
3


a=2 
x
 3 
y
 
b=2 
z
 .3 
t
 

  với 

,

,

,


N
x,y,z,t∈N và 



{

,

}
=
3
;



{

,

}
=
2
max{x,z}=3;max{y,t}=2. 

 Theo đề bài, ta có 
2

.
3

+
2

.
3

=
42

x
 .3 
y
 +2 
z
 .3 
t
 =42

 

2


1
.
3


1
+
2


1
3


1
=
7
⇔2 
x−1
 .3 
y−1
 +2 
z−1
 3 
t−1
 =7   (*), do đó 

,

,

,


1
x,y,z,t≥1

 TH1: 



,



x≥z,y≤t. Khi đó 

=
3
,

=
2
x=3,t=2. (*) thành:

 
4.
3


1
+
3.
2


1
=
7
4.3 
y−1
 +3.2 
z−1
 =7 


=

=
1
⇔y=z=1

 Vậy 
{

=
24

=
18

a=24
b=18

  (nhận)

 TH2: KMTQ thì giả sử 



,



x≥z,y≥t. Khi đó 

=
3
,

=
2
x=3,z=2. (*) thành 

 
4.
3


1
+
2.
3


1
=
7
4.3 
y−1
 +2.3 
t−1
 =7, điều này là vô lí.

 Vậy 
(

,

)
=
(
24
,
18
)
(a,b)=(24,18) hay 
(
18
,
24
)
(18,24) là cặp số duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.

24 tháng 5 2022

\(x,y,z>0\)

Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:

\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)

\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)

\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)

Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:

\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)

\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)

\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy \(P_{min}=0\)

NV
12 tháng 1 2021

\(A\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{x+y}=9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right)\)

12 tháng 1 2021

Tại sao  \(A\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{x+y}=9\) vậy bạn?

1 tháng 2 2021

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia dạng phân thức cho 3 số ta có:

\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{matrix}\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{y}{z+x}=\dfrac{z}{x+y}\\x,y,z>0;x+y+z=2\end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

Áp dụng BĐT Svac-xơ cho 3 số dương có :

\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2.\left(x+y+z\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

Vậy Min biểu thức cho là 1 khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

16 tháng 1 2021

Áp dụng BĐT BSC:

\(F=\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)

\(\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{z}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{4}.4=1\)

\(maxF=1\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{4}\)