Cho các số dương a,b,c có tích bằng 1 . CMR : (a+1)(b+1)(c+1)>=8
CÓ THẦN ĐỒNG NÀO GIÚP MÌNH VỚI
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
TN
27 tháng 12 2016
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}a+1\ge2\sqrt{a}\left(1\right)\\b+1\ge2\sqrt{b}\left(2\right)\\c+1\ge2\sqrt{c}\left(3\right)\end{cases}}\)
Nhân theo vế của (1), (2), (3) ta có:
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2^3\sqrt{abc}=8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
7 tháng 7 2016
a) Mình sửa lại đề bài của bạn chút : Cần chứng minh \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}-\sqrt{ab}\le0\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : \(\left[\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right]^2=\left(\sqrt{c}.\sqrt{a-c}+\sqrt{b-c}.\sqrt{c}\right)^2\le\left(c+b-c\right)\left(a-c+c\right)\)
\(\Rightarrow\left[\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right]^2\le ab\Rightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}-\sqrt{ab}\le0\)(đpcm)
b) Ta có : \(\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}=2\sqrt{1+a}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : \(\left(2\sqrt{1+a}\right)^2=\left(1.\sqrt{1+b}+1.\sqrt{1+c}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(1+b+1+c\right)\)
\(\Leftrightarrow4\left(1+a\right)\le2\left(b+c+2\right)\Leftrightarrow4+4a\le2\left(b+c\right)+4\Leftrightarrow b+c\ge2a\)(đpcm)
PP
2
22 tháng 2 2016
xét vế trái ta có (nhân vào )
a/a + a/b + a/c + b/a + b/b + b/c + c/a + c/b +c/c >= 9
<=> 3 + ( a/b +b/a ) + (b/c + c/b )+ (c/a +a/c) >=9
áp dụng bất đẳng thức phụ : a/b + b/a >=2 , b/c + c/b >= 2 , a/c +c/a >=2 ta được
3 +2 +2+2 >=9
=> đpcm
ta CM bất đẳng thức phụ a/b +b/a >=2 nhé !
vì a/b +b/a >=2 nên ta xét hiệu:
a/b + b/c - 2 >= 0
ta quy đồng mẫu các phân số :
<=> a2 /ab + b2/ab - 2ab/ab >= 0
<=> (a2 + b2 - 2ab) / ab = (a-b)2 /ab >=0
dấu = xảy ra khi a-b =0 <=> a=b
nên a/b + b/a - 2 >=0
<=> a/b + b/a >= 2 dấu = xảy ra khi a=b
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
11 tháng 5 2018
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{1}=bc+ac+ab\Rightarrow a+b+c>bc+ac+ab\)
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)=abc-ac-bc+c-ab+a+b-1\)
\(=1-1+a+b+c-ac-bc-ab=a+b+c-\left(ac+bc+ab\right)\)
vì \(a+b+c>bc+ac+ab\)(chứng minh trên)\(\Rightarrow a+b+c-\left(bc+ac+ab\right)>0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho từng cặp số không âm (với \(a,b,c>0\)), ta có:
\(a+1\ge2\sqrt{a}\) \(\left(1\right)\)
\(b+1\ge2\sqrt{b}\) \(\left(2\right)\)
\(c+1\ge2\sqrt{c}\) \(\left(3\right)\)
Nhân từng vế \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta được:
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\) (do \(abc=1\))
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=1\)