Cho các số dương a,b,c có tích bằng 1 . CMR : (a+1)(b+1)(c+1)>=8
CÓ THẦN ĐỒNG NÀO GIÚP MÌNH VỚI
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
TN
27 tháng 12 2016
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}a+1\ge2\sqrt{a}\left(1\right)\\b+1\ge2\sqrt{b}\left(2\right)\\c+1\ge2\sqrt{c}\left(3\right)\end{cases}}\)
Nhân theo vế của (1), (2), (3) ta có:
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2^3\sqrt{abc}=8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 7 2023
Lời giải:
a.
$\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}-\frac{c}{d}<0$
$\Rightarrow \frac{ad-bc}{bd}< 0$
$\Rightarrow ad-bc<0$ (do $bd>0$)
$\Rightarrow ad< bc$ (đpcm)
b.
$\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+d}=\frac{a(b+d)-b(a+c)}{b(b+d)}=\frac{ad-bc}{b(b+d)}<0$ do $ad-bc<0$ và $b(b+d)>0$
$\Rightarrow \frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}$
--------
$\frac{a+c}{b+d}-\frac{c}{d}=\frac{d(a+c)-c(b+d)}{d(b+d)}=\frac{ad-bc}{d(b+d)}<0$ do $ad-bc<0$ và $d(b+d)>0$
$\Rightarrow \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}$
Ta có đpcm.
30 tháng 9 2016
Bài 1. Từ giả thiết suy ra 1-a = b+c và áp dụng \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
Ta có : \(4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=4\left(b+c\right)\left(1-c\right)\left(1-b\right)\le\left[\left(b+c\right)+\left(1-c\right)\right]^2\left(1-b\right)\)
\(=\left(b+1\right)^2\left(1-b\right)=\left(b+1\right)\left(1-b^2\right)=-b^2\left(b+1\right)+\left(b+1\right)\le b+1=a+2b+c\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho từng cặp số không âm (với \(a,b,c>0\)), ta có:
\(a+1\ge2\sqrt{a}\) \(\left(1\right)\)
\(b+1\ge2\sqrt{b}\) \(\left(2\right)\)
\(c+1\ge2\sqrt{c}\) \(\left(3\right)\)
Nhân từng vế \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta được:
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\) (do \(abc=1\))
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=1\)