cho x, y, z khác 0 và x+y+z khác 0 và 1/x+1/y+1/z=1/x+y+z .
chứng minh 1/x^2015+1/y^2015+1/z^2015=1/x^2015+y^2015+z^2015
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 10 2020
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+3xyz-xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2y+xy^2\right)+\left(yz^2+z^2x\right)+\left(zx^2+2xyz+y^2z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x+y\right)+z^2\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xy+z^2+yz+zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x = -y hoặc y = -z hoặc z = -x
Không mất tổng quát giả sử x = -y, khi đó:
\(\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=-\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{z^{2015}}\)
\(\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}=\frac{1}{-y^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}=\frac{1}{z^{2015}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}\)
22 tháng 5 2015
Từ x+y+z=2015 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=x+y+z\Rightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz+yz+z^2}\right)=0\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)(Do x,y,z khác 0)
Mà x+y+z=2015 và (x+y)(y+z)(x+z)=0
=> x+y=0 => z =2015
hoặc y+z=0 => x=2015
hoặc x+z=0 => y=2015
Vậy nếu \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=x+y+z=2015\)thì ít nhất 1 trong 3 số x,y,z bằng 2015(ĐPCM)
lik.e nhé!
28 tháng 10 2016
Từ giả thiết ta có ngay \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
Suy ra x + y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0
Tới đây bạn tự làm nhé :)
MN
13 tháng 5 2018
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2015}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\) (do x+y+z = 2015)
\(\Rightarrow\)\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)-xyz=0\)
\(\Rightarrow\)\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
đến đây tự lm nốt nha
T
0
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}=\frac{z-\left(x+y+z\right)}{z\left(x+y+z\right)}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}=\frac{-\left(x+y\right)}{z\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\)(x + y)z(x + y + z) + (x + y)xy = 0
\(\Leftrightarrow\)(x + y) [z(x + y + z) + xy] = 0
\(\Leftrightarrow\)(x + y)[z(x + z) + y(x + z)] = 0
\(\Leftrightarrow\) (x + y)(y + z)(z + x) = 0
Trường hợp 1: x + y = 0\(\Leftrightarrow\)x = -y\(\Leftrightarrow\)x2015 = -y2015\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x^{2015}}=-\frac{1}{y^{2015}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}=0\)
và x2015 + y2015 = 0. Do đó \(\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}\)
Trường hợp 2: y + z = 0 làm tương tự
Trường hợp 3: x + z = 0 làm tương tự
Vậy bài toán được chứng minh.
Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.
tôi mong các bn đừng làm như vậy nha