K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Chứng minh rằng với mọi a,b,c≥0,ta có:
2(a2+b2+c2)+abc+8≥5(a+b+c)
Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM,ta có:
12(a2+b2+c2)+6abc+48−30(a+b+c)
=12(a2+b2+c2)+3(2abc+1)+45−5.2.3(a+b+c)
≥12(a2+b2+c2)+93√a2b2c2+45−5.((a+b+c)2+9)
\displaystyle{=7(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{9abc}{\sqrt[3]{abc}-10(ab+bc+ca)}
≥7(a2+b2+c2)+27a+b+c−10(ab+bc+ca)
Mặt khác sử dụng bất đẳng thức Schur,
9a+b+c≥4(ab+bc+ca)−(a+b+c)2=2(ab+bc+ca)−(a2+b2+c2)
Do đó
7(a2+b2+c2)+27a+b+c−10(ab+bc+ca)
≥7(a2+b2+c2)+6(ab+bc+ca)−3(a2+b2+c2)−10(ab+bc+ca)=4(a2+b2+c2−ab−bc−ca)≥0
Bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 4:Arqady

Cho a,b,c là các số không âm,trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0.Chứng minh rằng:
ab3+c3+ba3+c3+ca3+b3≥185(a2+b2+c2)−ab−ac−bc
Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
∑a(a+b+c)b3+c3≥18(a+b+c)5(a2+b2+c2)−ab−bc−ca
⇔∑a2b3+c3+ab2+c2−bc≥18(a+b+c)5(a2+b2+c2)−ab−bc−ca
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,ta có:
i)∑a2b3+c3≥(a2+b2+c2)2∑a2(b3+c3)
ii)∑ab2+c2−bc≥(a+b+c)2∑a(b2+c2−bc)
Áp dụng 2 bất đẳng thức trên,ta có:
(a2+b2+c2)2∑a2(b3+c3)+(a+b+c)2∑a(b2+c2−bc)≥18(a+b+c)5(a2+b2+c2)−ab−bc−ca
Giả sử a+b+c=1 và đặt \displaystyle{ab + bc + ca = q,abc = r \Rightarrow r \ge \max \left{ 0,\dfrac {(4q - 1)(1 - q)}{6}\right }}. 
Ta cần chứng minh
(1−2q)2q2−(q+2)r+1q−6r≥185−11q
Bất đẳng thức cuối dễ dàng chứng minh bằng cách xét 2 trường hợp:1≥4q và 4q≥1 
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c và a=b,c=0. 

nhầm đề

12 tháng 2 2017

Đầu tiền dùng AM-GM cm tổng 3 phân thức đầu >= 6

 tổng 3 phân thức còn lại >= 3/2(bđt nesbit) .vậy là xong

Vì \(\frac{c}{b}+\frac{d}{c}=\frac{c+d}{b+c}=1\)

Mà \(a+b=c+d=25\)

Nên \(\frac{c}{b}=\frac{d}{b}\)

Vậy \(M=\frac{c}{b}+\frac{d}{b}\le2\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{25}{2}\)

21 tháng 4 2021

sai r bạn

17 tháng 9 2019

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:\(P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)

Vậy MinP=9 đạt được khi a=b=c
 

17 tháng 9 2019

Ta có : \(P=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}++\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)

                  = \(3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

Mặt khác \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) với mọi \(x,y\) dương 

\(\Rightarrow P\ge3+2+2+2=9\)

Vậy \(P_{min}=9\) khi \(a=b=c\)

             Chúc bạn học tốt !!!

7 tháng 12 2020

bạn kiểm tra lại xem có sai đề không

NV
12 tháng 1 2024

\(A=\dfrac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}=\dfrac{\left(a+b+c+a\right)\left(b+a+b+c\right)\left(c+a+b+c\right)}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\)

\(A\ge\dfrac{2\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}.2\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}.2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}=8\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

22 tháng 4 2019

không cần lời giải

22 tháng 4 2019

( a,b )

= (1,2);(2,1)

Hok tốt