Chứng minh phương trình $(1-m^2)x^5 - 3x - 1 = 0$ luôn có nghiệm với mọi $m$.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
HT
18 tháng 2 2021
\(pt:\left(-x^2+3x-2\right)m+3x-5=0\)
\(\Leftrightarrow-x^2m+3mx-2m+3x-5=0\)
\(\Leftrightarrow-x^2m+\left(3m+3\right)x-2m-5=0\)
pt co nghiem \(\Leftrightarrow\Delta=\left(3m+3\right)^2-4m\left(2m+5\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow9m^2+18m+9-8m^2-20m\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+8>0\left(ld\right)\)
Vay pt luon co nghiem voi moi m
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2021
1.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+1\right)x^3-2m^2x^2-4x+m^2+1\)
\(f\left(x\right)\) xác định và liên tục trên R
\(f\left(x\right)\) có bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm (1)
\(f\left(0\right)=m^2+1>0\) ; \(\forall m\)
\(f\left(1\right)=\left(m^2+1\right)-2m^2-4+m^2+1=-2< 0\) ;\(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;1\right)\) (2)
\(f\left(2\right)=8\left(m^2+1\right)-8m^2-8+m^2+1=m^2+1>0\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(1;2\right)\) (3)
\(f\left(-3\right)==-27\left(m^2+1\right)-18m^2+12+m^2+1=-44m^2-14< 0\)
\(\Rightarrow f\left(-3\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-3;0\right)\) (4)
Từ (1); (2); (3); (4) \(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có đúng 3 nghiệm phân biệt
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2021
2.
Đặt \(t=g\left(x\right)=x.cosx\)
\(g\left(x\right)\) liên tục trên R và có miền giá trị bằng R \(\Rightarrow t\in\left(-\infty;+\infty\right)\)
\(f\left(t\right)=t^3+m\left(t-1\right)\left(t+2\right)\)
Hàm \(f\left(t\right)\) xác định và liên tục trên R
\(f\left(1\right)=1>0\)
\(f\left(-2\right)=-8< 0\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-2\right)< 0\Rightarrow f\left(t\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-2;1\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm với mọi m
PT
1
CM
27 tháng 5 2018
b) Δ = m - 2 2 -4.(-m + 1) = m 2 - 4m + 4 + 4m - 4 = m 2 ≥ 0 ∀ m
⇒ Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 5 2021
\(\Delta=\left(m+1\right)^2-4\left(2m-2\right)=m^2-6m+9=\left(m-3\right)^2\ge0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có nghiệm với mọi m
C
1
17 tháng 3 2023
Δ=(2m-4)^2-4(2m-5)
=4m^2-16m+16-8m+20
=4m^2-24m+36
=4m^2-2*2m*6+36=(2m-6)^2>=0
=>Phương trình luôn có nghiệm
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 1 2023
Lời giải:
Ta có:
$\Delta=(2m+1)^2-4(m^2+m-1)=5>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$
Do đó pt luôn có nghiệm với mọi $m\in\mathbb{R}$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2021
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m+1\right)\left(m-3\right)=4>0\) ;\(\forall m\ne-1\)
\(\Rightarrow\) Pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi \(m\ne-1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 3 2021
Đặt \(f\left(x\right)=x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục trên R
Ta có: \(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(f\left(-1\right)=m^2+1>0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0\) ;\(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;0\right)\) (đpcm)
CD
26 tháng 2 2022
nếu bài này mà chứng minh có 3 nghiệm thì mình phải làm như thế nào ạ..?
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 4 2021
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2-5m+11\right)x^{2021}+2x^2+1\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng thuộc R
\(f\left(0\right)=1>0\)
\(f\left(-1\right)=-\left(m^2-5m+11\right)+3=-\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{7}{4}< 0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) Pt đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1;0) với mọi m
xét m=1 và m=-1 thì pt luôn có nghiệm
xét m#1 và m#-1
đặt f(x)=(1−m2)x5−3x−1(1−m2)x5−3x−1
f(x)liên tục trên R nên f(x) lt trên [-1,0]
f(-1)=m2+1m2+1>0
f(0)=-1
f(-1)*f(0)<0 suyra ( đpcm ) .