Cho các số thực dương x,y phân biệt. Chứng minh rằng:
(x+y)(1/x+1/y)+ 16xy/(x-y)2 lớn hơn hoặc bằng 12
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
SN
0
12 tháng 9 2019
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\) ( 1 )
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+xy^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\) ( 2 )
\(\Rightarrow\)Bất đẳng thức ( 2 ) \(\Rightarrow\) Bất đẳng thức ( 1 )
( Dấu " = " xảy ra khi x = y )
Chúc bạn học tốt !!!
TN
22 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(T=\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{xy+xz}=\frac{4}{xy+xz}\)
Từ \(x+y+z=3\Rightarrow y+z=4-x\)
\(\Rightarrow T\ge\frac{4}{xy+xz}=\frac{4}{x\left(y+z\right)}=\frac{4}{x\left(4-x\right)}=\frac{4}{-x^2+4x}\)
Lại có: \(-x^2+4x=-\left(x^2-4x+4\right)+4=-\left(x-2\right)^2+4\le4\)
\(\Rightarrow T\ge\frac{4}{-x^2+4x}\ge\frac{4}{4}=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=2;y=z=1\)
HQ
23 tháng 7 2018
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge\frac{4}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}}=1\).
BH
25 tháng 3 2019
\(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1+\frac{x}{y}+1+\frac{y}{x}=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
Áp dụng BĐT cô si ,ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x\cdot y}{y\cdot x}}=2\)
Vậy ta được đpcm
ta có:
\(a+\frac{1}{a}-2=\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2-2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}=\left(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{a}\ge2\)
Vì a và 1/a cùng dấu nên 2 căn (a*1/a) lớn hơn 0 nha