Cho \(\xrightarrow[x->1]{lim}\dfrac{x^2+ax+b}{x^2-1}=\dfrac{1}{2}\)
với a,b \(\in R\) . Tính tổng S\(=a^2+b^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1
GIới hạn đã cho hữu hạn
\(\Rightarrow\sqrt[3]{13x^2+2x+5}-\sqrt[3]{81x^2+ax+1}=0\) có nghiệm \(x=-1\)
\(\Rightarrow a=18\)
Khi đó:
\(\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{\sqrt{13x^2+2x+5}-\sqrt[3]{81x^2+18x+1}}{\left(x+1\right)^2}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{\left(\sqrt[]{13x^2+2x+5}-\left(1-3x\right)\right)+\left(1-3x-\sqrt[3]{81x^3+18x+1}\right)}{\left(x+1\right)^2}\)
\(=...=\dfrac{17}{16}\)
17 tháng 1 2021
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{3x^2+2}-\sqrt{4+x}}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\dfrac{3x^2-x-2}{\sqrt{3x^2+2}+\sqrt{4+x}}}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{3x+2}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{3x^2+2}+\sqrt{4+x}\right)}=\dfrac{5}{2.2\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{4}\).
Từ đó a = 5; b = 4 nên a - b = 1.
BC
Biết \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax^2+bx+2}{x^2-1}=\dfrac{1}{2}\); (a,b thuộc R). Tính P=a.b
1
1 tháng 1
- Từ điều kiện đề bài ta có: \(ax^2+bx+2\ne\pm\left(x^2-1\right)\)
Ở bài này, ta xét 2 trường hợp lớn:
1) Với \(a=0\). Ta xét 2 trường hợp nhỏ:
+ 1a) \(b\ne-2\):
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow1}ax^2+bx+2=\lim\limits_{x\rightarrow1}bx+2=b+2\ne0\\\lim\limits_{x\rightarrow1}x^2-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax^2+bx+2}{x^2-1}=\infty\) (loại).
+ 1b) \(b=-2\). Ta có:
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax^2+bx+2}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{-2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{-2}{x+1}=\dfrac{-2}{1+1}=-1\left(loại\right)\)
2) \(a\ne0\)
- Ta xét 3 trường hợp:
+2a) \(a+b+2=0\Rightarrow b=-2-a\). Khi đó tử thức \(ax^2+bx+2\) có nghiệm là 1 và có thể viết lại thành \(ax^2+bx+2=ax^2-\left(a+2\right)x+2=a\left(x-1\right)\left(x-x_0\right)\left(1\right)\) (x0 là nghiệm còn lại của đa thức).
\(\left(1\right)\Rightarrow ax^2-\left(a+2\right)x+2=ax^2-a\left(1+x_0\right)x+ax_0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+2=a\left(1+x_0\right)\\2=ax_0\end{matrix}\right.\Rightarrow x_0=\dfrac{2}{a}\)
Vậy \(ax^2+bx+2=a\left(x-1\right)\left(x-\dfrac{2}{a}\right)=\left(x-1\right)\left(ax-2\right)\), với \(b=-a-2\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax^2+bx+2}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax-2}{x+1}=\dfrac{a-2}{2}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P=a.b=3.\left(-5\right)=-15\)
+2b) \(a-b+2=0\Rightarrow b=a+2\). Khi đó tử thức \(ax^2+bx+2\) có một nghiệm là -1 và có thể được viết lại thành: \(ax^2+bx+2=a\left(x+1\right)\left(x-x_0\right)\left(2\right)\) (x0 là nghiệm còn lại của tử thức).
\(\left(2\right)\Rightarrow ax^2+\left(a+2\right)x+2=a\left(x+1\right)\left(x-x_0\right)\)
\(\Rightarrow ax^2+\left(a+2\right)x+2=ax^2+a\left(1-x_0\right)-ax_0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+2=a\left(1-x_0\right)\\2=-ax_0\end{matrix}\right.\Rightarrow x_0=\dfrac{-2}{a}\)
Vậy \(ax^2+bx+2=\left(x+1\right)\left(ax+2\right)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax^2+bx+2}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax+2}{x-1}\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow1}ax+2=a+2\ne0\\\lim\limits_{x\rightarrow1}x-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax+2}{x-1}=\infty\) (loại)
+2c) Tử thức \(ax^2+bx+2\) không có nghiệm là 1 và -1. Làm tương tự như trường hợp 2b) (từ khúc tính lim).
Vậy \(P=-15\)
1 tháng 1
Bỏ trường hợp 2c, sửa 2b:
-Tử thức \(ax^2+bx+2\) không có nghiệm là 1.
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow1}ax^2+bx+2=a+b+2\ne0\\\lim\limits_{x\rightarrow1}x^2-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax^2+bx+2}{x^2-1}=\infty\) (loại).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2021
\(4x^3-3x+1=\left(2x-1\right)^2\left(x+1\right)\) có nghiệm kép \(x=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+ax^2}-bx-2=0\) có nhiều hơn 1 nghiệm \(x=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+\dfrac{a}{4}}=\dfrac{b}{2}+2\Rightarrow\sqrt{a+4}=b+4\) (\(b\ge-4\))
\(\Rightarrow a=b^2+8b+12\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+\left(b^2+8b+12\right)x^2}=bx+2\)
\(\Rightarrow1+\left(b^2+8b+12\right)x^2=b^2x^2+4bx+4\)
\(\Rightarrow\left(8b+12\right)x^2-4bx-3=0\)
\(\Rightarrow\left(2x-1\right)\left[\left(4b+6\right)x+3\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(4b+6\right)x+3=0\) có nghiệm \(x=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2b+3+3=0\Rightarrow b=-3\) \(\Rightarrow a=-3\)
Khi đó:
\(\lim\limits_{x\rightarrow\dfrac{1}{2}}\dfrac{\sqrt{1-3x^2}+3x-2}{4x^3-3x+1}=\lim\limits_{x\rightarrow\dfrac{1}{2}}\dfrac{-12\left(2x-1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2\left(\sqrt{1-3x^2}+2-3x\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow\dfrac{1}{2}}\dfrac{-12}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{1-3x^2}+2-3x\right)}=-8\)
\(\Rightarrow c=-8\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 3 2021
Lời giải:
\(\lim\limits_{x\to 0,5}\frac{\sqrt{1+ax^2}-bx-2}{4x^3-3x+1}=\lim\limits_{x\to 0,5}\frac{\sqrt{1+ax^2}-bx-2}{(x+1)(2x-1)^2}\)
Để giới hạn hàm đã cho hữu hạn thì $f(x)=\sqrt{1+ax^2}-bx-2$ có nhân tử là $(2x-1)^2$
$f(x)$ có nhân tử $2x-1 \Leftrightarrow f(\frac{1}{2})=0\Leftrightarrow b=\sqrt{4+a}-4$
Khi đó:
$\sqrt{1+ax^2}-bx-2=(2x-1)(2-\frac{2x+1}{\sqrt{1+ax^2}+x\sqrt{4+a}})$
Giờ ta cần xác định $a,b$ để $2-\frac{2x+1}{\sqrt{1+ax^2}+x\sqrt{4+a}}=0$ với $x=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{4+a}=1\Leftrightarrow a=-3$
$b=\sqrt{4+a}-4=-3$
\(\lim\limits_{x\to 0,5}\frac{\sqrt{1-3x^2}+3x-2}{4x^3-3x+1}=\lim\limits_{x\to 0,5}\frac{-3(2x-1)^2(2x+1)}{(2\sqrt{1-3x^2}+1)(\sqrt{1-3x^2}+x)(2x-1)^2(x+1)}\)
\(=\lim\limits_{x\to 0,5}\frac{-3(2x+1)}{(2\sqrt{1-3x^2}+1)(\sqrt{1-3x^2}+x)(x+1)}=-2=c\)
26 tháng 9 2021
Trình bày công thức các thứ khá dài nên tôi thử nói hướng, nếu bạn hiểu đc và làm đc thì ok còn nếu k hiểu thì bảo mình, mình làm full cho
Bây giờ phân tích mẫu trước, ra (x-1)2(x+2)
Để cái lim này nó ra đc 1 số thực thì tử và mẫu cùng phải triệt tiêu (x-1)2 đi, tức là tử phải chia hết (x-1)2, tức là tử cũng phải có nghiệm kép x=1
Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=0\\f'\left(1\right)=0\end{matrix}\right.\)
MH
23 tháng 2 2022
Tham khảo:
Vì hàm số có giới hạn hữu hạn tại x=1 nên biểu thức tử nhận x=1 làm nghiệm, hay 1+a+b=0.
Áp dụng vào giả thiết, được
\(^{lim}_{x\rightarrow1}\dfrac{x^2+ax-1-a}{x^2-1}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow^{lim}_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1+a\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=-\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow^{lim}_{x\rightarrow1}\dfrac{x+1+a}{x+1}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{2+a}{2}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=-3\)
\(\Rightarrow b=2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 2 2022
Lời giải:
Vì $x^2-1\to 0$ khi $x\to 1$ nên để giới hạn đã cho hữu hạn thì $x^2+ax+b$ nhận $x=1$ là nghiệm
$\Leftrightarrow 1+a+b=0$
$\Leftrightarrow b=-a-1$
Khi đó:
\(\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+ax+b}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+ax-a-1}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1+a)}{(x-1)(x+1)}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x+a+1}{x+1}\)
\(=\frac{a+2}{2}=\frac{-1}{2}\Rightarrow a+2=-1\Rightarrow a=-3\)
$b=-a-1=3-1=2$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 3 2021
1.
\(\lim\dfrac{5\sqrt{3n^2+n}}{2\left(3n+2\right)}=\lim\dfrac{5\sqrt{3+\dfrac{1}{n}}}{2\left(3+\dfrac{2}{n}\right)}=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}\Rightarrow a+b=11\)
2.
\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x^2+ax+b}{x-2}=6\) khi \(x^2+ax+b=0\) có nghiệm \(x=2\)
\(\Rightarrow4+2a+b=0\Rightarrow b=-2a-4\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x^2+ax-2a-4}{x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)+a\left(x-2\right)}{x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+a+2\right)}{x-2}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(x+a+2\right)=a+4\Rightarrow a+4=6\Rightarrow a=2\Rightarrow b=-8\)
\(\Rightarrow a+b=-6\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 1
\(\sqrt{a+12}-\sqrt[3]{81+63-19}=0\Rightarrow a=13\)
Khi đó
\(\dfrac{\sqrt{13x^2+4x+8}-\sqrt[3]{81x^2+63x-19}}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt[]{13x^2+4x+8}-\left(3x+2\right)+\left(3x+2-\sqrt[3]{81x^2+83x-19}\right)}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}\)
\(=\dfrac{\dfrac{4\left(x-1\right)^2}{\sqrt[]{13x^2+4x+8}+\left(3x+2\right)}+\dfrac{27\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}{\left(3x+2\right)^2+\left(3x+2\right)\sqrt[3]{81x^2+63x-19}+\sqrt[3]{\left(81x^2+63x-19\right)^2}}}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}\)
\(\Rightarrow1+a+b=0\Leftrightarrow b=-a-1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^2+ax-a-1}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(x+1+a\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x+1+a}{x+1}=\dfrac{1+1+a}{1+1}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow a=-1\Rightarrow b=0\)